Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

32
lim ( )
!
n
n
m
m
m
Pm e
m
ee
→∞
=
∞
−
=
∞
−
∑∑
===
00
1
λλλ
λ
.
Формула Пуассона дает хорошее приближение формулы Бернулли при
малых p и больших n. Ошибка от использования формулы Пуассона при
n=5
⋅10
3
и p=10
3−
составляет менее 0,01%.
Пример 1. Сервисный автоцентр одновременно может обслуживать 100
автомобилей. Вероятность того, что в течение 1 мин автомобилист обра-
тится в автоцентр, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 1 мин
обратятся в автоцентр: а) три автомобилиста; б) менее трех автомобили-
стов; в) более трех автомобилистов; г) хотя бы один автомобилист.
Решение. Поскольку обращения в автоцентр автомобилистов являются
независимыми событиями, число n=100 велико, а вероятность p=0,01 мала,
воспользуемся формулой (1.9.1).
а) Находим
λ≈np=100
⋅
0,01=1. Вероятность события “в автоцентр обра-
тились три автомобилиста” (m=3)
P
100
(3) ≈
1
3
0 0613
1
!
,e
−
≈ .
б) По этой же формуле вероятность того, что в автоцентр обратятся ме-
нее трех автомобилистов,
P
100
(0)+P
100
(1)+P
100
(2) ≈ee e
−− −
++ ≈
11 1
1
2
09197,
.
в) События A - “в автоцентр обратятся более трех автомобилистов” и
A- “обратятся не более трех автомобилистов” - противоположные, поэто-
му, согласно пп. “а” и ”б”, вероятность события A:
P(A)=1
−P(A)=1−( P
100
(0)−P
100
(1)−P
100
(2)−P
100
(3)) ≈
≈1−0,9197−0,0613=0,0019.
г) События A - “в автоцентр обратился хотя бы один автомобилист” и
A- “в автоцентр никто не обратился” - противоположные, поэтому веро-
ятность события A есть
P(A)= 1
−P( A )= 1−P
100
(0) ≈ 1−e
−1
≈0,632.
Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
§1. Определение случайной величины
Вторым важным объектом, который изучает теория вероятностей, яв-
ляется случайная величина. 
                       ∞                          ∞
                                                      λm
                       ∑ nlim
                           →∞
                              Pn ( m) = e   −λ
                                                 ∑ m ! = e − λ e λ = 1.
                      m =0                       m =0
   Формула Пуассона дает хорошее приближение формулы Бернулли при
малых p и больших n. Ошибка от использования формулы Пуассона при
n=5 ⋅103 и p=10 −3 составляет менее 0,01%.
   Пример 1. Сервисный автоцентр одновременно может обслуживать 100
автомобилей. Вероятность того, что в течение 1 мин автомобилист обра-
тится в автоцентр, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение 1 мин
обратятся в автоцентр: а) три автомобилиста; б) менее трех автомобили-
стов; в) более трех автомобилистов; г) хотя бы один автомобилист.
   Решение. Поскольку обращения в автоцентр автомобилистов являются
независимыми событиями, число n=100 велико, а вероятность p=0,01 мала,
воспользуемся формулой (1.9.1).
   а) Находим λ≈np=100 ⋅ 0,01=1. Вероятность события “в автоцентр обра-
тились три автомобилиста” (m=3)
                                          1 −1
                             P100 (3) ≈      e ≈ 0,0613 .
                                          3!
   б) По этой же формуле вероятность того, что в автоцентр обратятся ме-
нее трех автомобилистов,
                                                              1
               P100 (0)+P100(1)+P100(2) ≈ e −1 + e −1 + e −1 ≈ 0,9197 .
                                                              2
    в) События A - “в автоцентр обратятся более трех автомобилистов” и
A - “обратятся не более трех автомобилистов” - противоположные, поэто-
му, согласно пп. “а” и ”б”, вероятность события A:
             P(A)=1−P( A )=1−( P100 (0)−P100(1)−P100(2)−P100(3)) ≈
                            ≈1−0,9197−0,0613=0,0019.
    г) События A - “в автоцентр обратился хотя бы один автомобилист” и
A - “в автоцентр никто не обратился” - противоположные, поэтому веро-
ятность события A есть
    P(A)= 1−P( A )= 1−P100(0) ≈ 1− e −1 ≈0,632.


                 Глава 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

               §1. Определение случайной величины

   Вторым важным объектом, который изучает теория вероятностей, яв-
ляется случайная величина.

32

Страницы