Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 32 стр.

                                      x2
                       1        1 −2            1
                Pn(m)∼             e или Pn(m)∼     ϕ(x) ,
                       npq      2π              npq
где ϕ(x) табулирована.
    В условиях примера n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Отсюда
                             m − np 80 − 400 ⋅ 0,2
                        x=         =                 = 0.
                              npq    400 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8
Из таблицы функций ϕ(x) находим, что ϕ(0)=0,3989.
Тогда искомая вероятность
                                 1         1
                      P400(80)∼ ϕ(0) = 0,3989 = 0,04986 .
                                 8         8
   Заметим, что при вычислении этой вероятности по формуле Бернулли
получается достаточно громоздкое выражение
                                                80     320
                                  400! ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
                       P400(80)=        ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟             .
                                 80!320! ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠

                        § 9 Теорема Пуассона

    Как уже отмечалось в § 8, приближение, даваемое формулой (1.8.2),
вполне удовлетворительно для p, близких к 0.5. Однако при малых значе-
ниях p и больших значениях n существует другая приближенная формула,
которая выводится в следующих предположениях.
    Поскольку необходимо, чтобы вероятность p сходилась к нулю, рас-
сматривается не фиксированная последовательность случайных величин
ξ1,ξ 2,..., а последовательность серий случайных величин:

   ξ11;
   ξ12, ξ22;
   ξ13, ξ23, ξ33;
   --------------
   ξ1n, ξ2n, ξ3n,..., ξnn.
Первый индекс означает номер случайной величины в серии. Второй ин-
декс означает номер серии. Случайные величины ξin одной n-й серии неза-
висимы и одинаково распределены по закону Бернулли
                      P{ξin=1}=pn, P{ξin=0}=1− pn, i=1,2,...,n.
Через m обозначим число событий {ξin=1}, фактически происшедших в n-й
серии.


30