Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 30 стр.

удобно пользоваться для численных расчетов при небольших значениях n
и m, поскольку при больших n и m возникают трудности с вычислением n!
и m!.
    Выведем для Pn(m) удобную приближенную формулу, пригодную для
случая, когда n , m и n−m велики.
    Для этого воспользуемся формулой Стирлинга:
                              n!=n n 2πn ⋅ e − n +θn ,
в которой остаточный показатель θ n удовлетворяет неравенству
                              1
                                θn <
                                 → 0 при n → ∞ .
                             12n
                                  m − np
     Введем обозначения q=1−p, x=        и рассмотрим поведение выра-
                                   npq
жения npqPn (m) при n → ∞.
Имеем
                                                           n!
                          npqPn ( m) = npq                        p m q n −m =
                                                      m !(n − m)!
                                       n n 2πn ⋅ e − n +θn ⋅ p m q n − m
            = npq                                                                            =
                    m m 2πm ⋅ e − m +θm (n − m) n − m 2π(n − m) ⋅ e −( n − m ) +θn − m
                                                  m            n −m
                             n 2 pq⎛ np ⎞ ⎛ nq ⎞
                    =              ⎜ ⎟ ⎜         ⎟                    e θn −θ m −θ n − m .
                      2π m( n − m) ⎝ m ⎠ ⎝ n − m ⎠
    Рассмотрим теперь предельное поведение отдельных сомножителей,
считая, что a≤x≤ в, где a и в - некоторые числа.
    1. Так как при n → ∞ m=np+x npq → ∞ и n−m=nq− x npq → ∞ , то
θ n − θ m − θ n −m → 0, поэтому e θn −θm −θn −m → 1 при n → ∞.
            n 2 pq              n 2 pq                                              1
      2.            =                            =                                               ,
           m(n − m)   (np + x npq )(nq − x npq )                         q           p
                                                                  (1 + x    )(1 − x    )
                                                                         np         nq
откуда следует, что
                                   n 2 pq
                                           → 1 при n → ∞ .
                                  m(n − m)
                    m           n −m
               ⎛ np ⎞ ⎛ nq ⎞
     3. Для z= ⎜ ⎟ ⎜        ⎟          имеем
               ⎝ m ⎠ ⎝ n − m⎠
                                          m           ⎛ n − m⎞
                            lnz=−mln         −(n−m)ln ⎜      ⎟=
                                          np          ⎝ nq ⎠



28