Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 28 стр.

     Учитывая, что P(Ai)=p и P( A i )=1-p, запишем (1.7.1) в виде
                           Pn(m)=p m (1−p) n −m +...
Чтобы окончательно подсчитать интересующую вероятность, учтем, что
слагаемые в формуле (1.7.1) отличаются только порядком сомножителей и
                                                                      ⎛        n!    ⎞
всего таких слагаемых C m                                 m
                        n - число сочетаний из n по m ⎜ C n =                        ⎟.
                                                                      ⎝   m !(n − m)!⎠
Окончательно имеем
                                                n −m
                           Pn(m)= C m  m
                                    n p (1 − p)      .           (1.7.2)
   Эта формула называется частной теоремой о независимых опытах, или
формулой Бернулли.
   Если рассматривать Pn(m) как функцию m, то она задает распределение
вероятностей, которое называется биномиальным. Исследуем эту зависи-
мость Pn(m) от m, 0≤m≤n.
   Рассмотрим отношение:
        Pn (m + 1)      n !p m +1 (1 − p) n −m −1 m !(n − m)!   n−m p      n −m p
                   =                                          =    ⋅     =     ⋅ .
         Pn (m)      ( m + 1)!(n − m − 1)!n !p m (1 − p) n −m m + 1 1 − p m + 1 q
   Отсюда следует, что Pn(m+1)>Pn(m), если (n−m)p>(m+1)q, т.е. функция
Pn(m) возрастает, если mnp−q.
   Таким образом, существует число m0 ,при котором Pn(m) достигает
наибольшего значения. Найдем m0 .
   По смыслу числа m0 имеем Pn(m0)≥Pn(m0−1) и Pn(m0) ≥Pn(m0+1),
отсюда
                       n !p m 0 q n − m 0   n !p m0 −1q n − m0 +1
                                          ≥                       ,            (1.7.3)
                       m 0 !(n − m o )! (m 0 − 1)!(m − m 0 + 1)!
и
                       n !p m 0 q n − m 0   n !p m0 +1q n − m0 −1
                                          ≥                       .            (1.7.4)
                       m 0 !(n − m 0 )! ( m 0 + 1)!(m − m 0 − 1)!
Решая неравенства (1.7.3) и (1.7.4) относительно m0 , получаем:
                       p/m0 ≥ q/(n−m0+1) ⇒ m0 ≤np+p,
                      q/(n−m0) ≥ p/(m0+1) ⇒ m0 ≥np−q.
Итак, искомое число m0 удовлетворяет неравенствам
                             np−q≤ m0 ≤np+p.                     (1.7.5)
   Так как p+q=1, то имеется по крайней мере одно целое число m0, удов-
летворяющее неравенством (1.7.5). Число m0 называется наиболее вероят-


26