Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 26 стр.

чественная мини-ЭВМ, H2 - взята зарубежная мини-ЭВМ. Тогда
P(H1)=6/10, P(H2)=4/10 и по условию задачи P(A/H1)=0,95, P(A/H2)=0,8. По
формуле полной вероятности искомая вероятность
           P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)=0,6 ⋅ 0,95+0,4 ⋅ 0,8=0,89.
    Пример 2. В канцелярии работают 4 секретарши, которые отправляют
40,10,30 и 20% исходящих документов. Вероятности неверной адресации
документов секретаршами равны 0,01; 0,04; 0,06; 0,01 соответственно.
Найти вероятность того, что документ, неверно адресованный, отправлен
третьей секретаршей.
    Решение. Введем гипотезы Hi - документ отправила i-я секретарша,
i=1,2,3,4. Тогда по условию задачи P(H1)=0,4; P(H2)=0,1; H(Р3)=0,3;
P(H4)=0,2. Обозначим через A событие, состоящее в том, что документ ад-
ресован неверно. Тогда по условию P(A/H1)=0,01; P(A/H2)=0,04;
P(A/H3)=0,06; P(A/H4)=0,01 и искомая вероятность
                                     P(H3 )P(A / H3 )
 P(H3/A)=                                                                           =0,391.
            P(H1)P(A / H1) + P(H2 )P(A / H2 ) + P(H3 )P(A / H3 ) + P(H4 )P(A / H4 )
   Пример 3. Задача о разорении игрока. Некто играет в орлянку. Выбирая
“орла” или “решку”, игрок бросает монету. Если выпадает та сторона мо-
неты, которая была названа игроком, то он выигрывает один рубль; в про-
тивном случае он столько же проигрывает. Пусть первоначальный капитал
игрока составляет х рублей и игрок ставит себе целью довести его до неко-
торой суммы в a рублей. Игра продолжается до тех пор, пока игрок не на-
берет заранее определенную сумму a, либо пока он не разорится, проиграв
весь имеющийся у него капитал. Какова вероятность того, что в конце
концов игрок разорится, так и не набрав сумму в a рублей?
   Решение . Эта вероятность зависит от начального капитала х и конеч-
ной суммы a. Обозначим через p(x) вероятность того, что, имея х рублей,
игрок разорится. Тогда вероятность разорения при условии выигрыша на
первом шаге будет p(x+1), а вероятность разорения при условии проигры-
ша на первом шаге будет p(x−1). Обозначим через B1 cобытие, заключаю-
щееся в том, что игрок выиграл на первом шаге; B2 - что он проиграл.
Пусть событие A означает разорение игрока. Условные вероятности разо-
рения будут иметь вид:
                       P(A/B1)=p(x+1), P(A/B2)=p(x−1).
                                                                                        1
     События B1 и B2 образуют полную группу событий, и P(B1)=P(B2)= .
                                                                                        2
   Формула полной вероятности дает следующее уравнение для вероятно-
стей p(x):


24