Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 25 стр.

известно, что об условиях, при которых оно наступает, можно высказать
некоторые попарно несовместные гипотезы H1,H2,...,Hn. Известны вероят-
ности этих гипотез P(Hi) и условные вероятности наступления события A,
если верна та или иная гипотеза P(A/Hi). Формула полной вероятности дает
возможность найти вероятность наступления события A с учетом возмож-
ности наступления любой из гипотез.
   Другой важнейшей формулой является формула Байеса. Исходные
данные в ней те же, что и в формуле полной вероятности, но дополнитель-
но известно, что событие A наступило.
   Необходимо найти условную вероятность наступления гипотезы Hj при
условии, что событие A наступило.
   По определению условной вероятности имеем:
                              P( A I H j ) P(A / H j ) P(H j )
                     P(Hj/A)=             =                    .
                                 P( A )         P( A )
Заменяя P(A) по формуле полной вероятности, получим формулу Байеса:
                                     P(A / H j ) P( H j )
                        P(Hj/A)=   n
                                                             .    (1.6.2)
                                   ∑ P( A / H i ) P( H i )
                                   i =1
    Эту формулу обычно применяют в ситуации, когда имеется событие A
и гипотезы об условиях его наступления, P(Hj) - вероятности этих гипотез,
известные до проведения опыта, так называемые априорные вероятности.
Пусть теперь в результате опыта наступило событие A. Факт его наступле-
ния несет информацию о гипотезах Hi, и эта информация выражается в из-
менении вероятностей наступления гипотез - они теперь становятся рав-
ными P(Hi/A)- послеопытными, или так называемыми апостериорными
вероятностями. Формула Байеса как раз и позволяет найти эти апостериор-
ные вероятности и тем самым получить информацию об условиях наступ-
ления события A.
    Таким образом, формула Байеса становится основной для принятия ка-
ких-либо решений о гипотезах Hi по результатам опыта.
    Пример 1. На орбитальном комплексе установлено 6 мини-ЭВМ отече-
ственного производства и 4 зарубежных мини-ЭВМ. Вероятность того, что
во время выполнения вычислительных работ отечественная мини-ЭВМ не
выйдет из строя, равна 0,95, для зарубежной мини-ЭВМ эта вероятность
равна 0,8. Найти вероятность того, что взятая наугад мини-ЭВМ не выйдет
из строя до окончания вычислительных работ.
    Решение. Пусть A-событие, состоящее в том, что мини-ЭВМ не выйдет
из строя. Это событие может произойти с одной из гипотез: H1 - взята оте-


                                                                       23