Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

21
А=А
1
+А
2
и А
1
А
2
I
=∅, то
P(A/B)=P[(A
1
+A
2
)/B]=P(A
1
/B)+P(A
2
/B).
То есть условная вероятность суммы несовместных событий равна сумме
условных вероятностей этих событий.
События A и B называется
независимыми, если вероятность наступле-
ния одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.
Для независимых событий
P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B),
и тогда
P(A B
I
)=P(A)P(B). (1.5.5)
Рассмотрим некоторые свойства независимых событий
1. Если событие A не зависит от события B, то и, наоборот, событие B
не зависит от события A. Действительно, пусть событие A не зависит от
события B, то есть P(A/B)=P(A). Тогда по теореме умножения вероятно-
стей
P(A/B) P(B)=P(A)
⋅P(B)=P(B/A)P(A).
Если P(A)
>0, то получаем
P(B)= P(B/A),
то есть событие B не зависит от события A. Другими словами, независи-
мость или зависимость случайных событий есть свойство взаимное.
2. Если события A и B независимы, то независимы также события:
A и
B; A и
B ; A и B.
Действительно, пусть A и B независимы, тогда
P(
A/B)=1−P(A/B)=1−P(A)=P(A);
P(
B/A)=1−P(B/A)=1−P(B)=P( B);
P(
A/B)=1−P(A/ B)=1−P(A)=P( A).
3. Для произвольного числа событий теорема умножения (1.5.2) имеет
вид:
PA
i
i
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
I
=P(A
1
) P(A
2
/A
1
) P(A
3
/A
1
А
2
I
)
⋅
...
⋅
P(A
n
/A
i
i
n
=
−
1
1
I
).
Если случайные события A
i
, i=
1, n
независимы, то теорема умножения
вероятностей будет иметь вид:
PA
i
i
n
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
I
=PA
i
i
n
()
=
∏
1
.
Замечание 1. Независимость событий является очень важным свойст-
вом, облегчающим проведение многих расчетов. Поэтому при построении
исходных моделей желательно в качестве исходных элементов модели
брать независимые события. 
                            А=А1 +А2 и А1 I А 2 =∅, то
                    P(A/B)=P[(A1 +A2 )/B]=P(A1 /B)+P(A2 /B).
То есть условная вероятность суммы несовместных событий равна сумме
условных вероятностей этих событий.
    События A и B называется независимыми, если вероятность наступле-
ния одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого.
Для независимых событий
                              P(A/B)=P(A), P(B/A)=P(B),
и тогда
                                  P(A I B )=P(A)P(B).                           (1.5.5)
    Рассмотрим некоторые свойства независимых событий
    1. Если событие A не зависит от события B, то и, наоборот, событие B
не зависит от события A. Действительно, пусть событие A не зависит от
события B, то есть P(A/B)=P(A). Тогда по теореме умножения вероятно-
стей
                          P(A/B) P(B)=P(A)⋅P(B)=P(B/A)P(A).
Если P(A)>0, то получаем
                                     P(B)= P(B/A),
то есть событие B не зависит от события A. Другими словами, независи-
мость или зависимость случайных событий есть свойство взаимное.
    2. Если события A и B независимы, то независимы также события: A и
B; A и B ; A и B.
    Действительно, пусть A и B независимы, тогда
    P( A /B)=1−P(A/B)=1−P(A)=P( A );
    P( B/A)=1−P(B/A)=1−P(B)=P( B);
    P( A / B)=1−P(A/ B)=1−P(A)=P( A ).
    3. Для произвольного числа событий теорема умножения (1.5.2) имеет
вид:
               ⎛n ⎞                                                    n −1
             P ⎜ I A i ⎟ =P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1 I А 2 ) ⋅ ... ⋅ P(An/ I A i ).
               ⎝ i=1 ⎠                                                 i =1

   Если случайные события Ai , i=1, n независимы, то теорема умножения
вероятностей будет иметь вид:
                              ⎛n ⎞ n
                            P ⎜ I A i ⎟ = ∏ P( A i ) .
                              ⎝ i =1 ⎠ i=1
   Замечание 1. Независимость событий является очень важным свойст-
вом, облегчающим проведение многих расчетов. Поэтому при построении
исходных моделей желательно в качестве исходных элементов модели
брать независимые события.

                                                                                    21

Страницы