Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

20
P(A B
I
) =
k
n
=
k
m
m
n
⋅ . (1.5.1)
Здесь
m
n
=P(B). Что касается
k
m
, то в определении вероятности в знаме-
нателе стоит общее число исходов данного опыта. В сомножителе
k
m
в
знаменателе стоит число исходов, благоприятных для наступления собы-
тия B, которое заняло место всех возможных исходов данного опыта, то
есть наступление события A мы рассматриваем относительно только тех
исходов, в которых событие B наступает. Таким образом,
k
m
есть не что
иное, как условная вероятность события A при условии, что событие B на-
ступило. Тогда формулу (1.5.1) можно записать в виде
P(A B
I
)=P(B)P(A/B).
Аналогично
P(A B
I
)=
k
n
=
k
r
r
n
⋅ = P(A)P(B/A).
Тогда окончательно получаем
P(A B
I
)=P(A) P(B\A)=P(B) P(A/B). (1.5.2)
Эта формула называется
теоремой умножения вероятностей. Из нее
следует, что
P(A/B)=
PA B
PB
()
()
I
; P(B)
≠
0; P(B/A)=
PA B
PA
()
()
I
; P(A) ≠0. (1.5.3)
Сформулируем теперь общее определение условной вероятности.
Пусть задано вероятностное пространство (
Ω,F,P) и пусть A и B произ-
вольные события из множества F. Если P(B)
>0, то условной вероятностью
события A
при условии, что событие B наступило, называется
P(A/B)=
PA B
PB
()
()
I
. (1.5.4)
Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности, по-
скольку она удовлетворяет аксиомам теории вероятностей. Первая аксиома
очевидна, поскольку для каждого события А согласно (1.5.4) определена
неотрицательная функция P(A/B). Если А=В (и в частности, если А=
Ω), то
согласно определению (1.5.4)
PA B
PA В
PB
PB
PB
(/)
()
()
()
()
===
I
1.
Что касается третьей аксиомы, то, например, если событие А может про-
изойти только в одном из двух несовместных видов А
1
или А
2
так, что 
                                     k   k m
                         P(A I B ) = =    ⋅ .                             (1.5.1)
                                     n   m n
         m                     k
     Здесь  =P(B). Что касается , то в определении вероятности в знаме-
          n                    m
                                                                   k
нателе стоит общее число исходов данного опыта. В сомножителе         в
                                                                   m
знаменателе стоит число исходов, благоприятных для наступления собы-
тия B, которое заняло место всех возможных исходов данного опыта, то
есть наступление события A мы рассматриваем относительно только тех
                                                                 k
исходов, в которых событие B наступает. Таким образом,             есть не что
                                                                 m
иное, как условная вероятность события A при условии, что событие B на-
ступило. Тогда формулу (1.5.1) можно записать в виде
                           P(A I B )=P(B)P(A/B).
Аналогично
                                    k    k r
                         P(A I B )= = ⋅ = P(A)P(B/A).
                                    n    r n
Тогда окончательно получаем
                      P(A I B )=P(A) P(B\A)=P(B) P(A/B).                  (1.5.2)
   Эта формула называется теоремой умножения вероятностей. Из нее
следует, что
                   P( A I B)                      P( A I B)
           P(A/B)=           ; P(B) ≠ 0; P(B/A)=             ; P(A) ≠ 0. (1.5.3)
                     P( B)                           P( A )
    Сформулируем теперь общее определение условной вероятности.
Пусть задано вероятностное пространство (Ω,F,P) и пусть A и B произ-
вольные события из множества F. Если P(B)>0, то условной вероятностью
события A при условии, что событие B наступило, называется
                                    P( A I B)
                           P(A/B)=            .                          (1.5.4)
                                       P( B)
   Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности, по-
скольку она удовлетворяет аксиомам теории вероятностей. Первая аксиома
очевидна, поскольку для каждого события А согласно (1.5.4) определена
неотрицательная функция P(A/B). Если А=В (и в частности, если А=Ω), то
согласно определению (1.5.4)
                                     P( A I В) P( B)
                        P( A / B) =             =       = 1.
                                       P( B)      P( B)
Что касается третьей аксиомы, то, например, если событие А может про-
изойти только в одном из двух несовместных видов А1 или А2 так, что


20

Страницы