Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

18
P(A B
U
)≤P(A)+P(B).
Для n совместных событий теорема сложения имеет вид
P(
A
i
i
n
=1
U
)=
(
)
PA
i
i
n
=
∑
1
−
(
)
PA A
ii
ii n
12
1
12
I
≤< ≤
∑
+
(
)
PA A A
ii i
ii in
123
1
123
II
≤< <≤
∑
−...+
+(
−1)
n−1
P( A
i
i
n
=1
I
). (1.4.9)
Докажем эту формулу по индукции, используя (1.4.8). Для n=2 формула
доказана. Пусть формула (1.4.9) верна для некоторого n. Добавим еще одно
событие A
n+1
, тогда по формуле (1.4.8) имеем
A
i
i
n
=
+
1
1
U
=A
i
i
n
=1
U
+A
n+1
,
P( A
i
i
n
=
+
1
1
U
)=P( A
i
i
n
=1
U
)+P(A
n+1
)−P(A
n+1
I
(A
i
i
n
=1
U
)). (1.4.10)
Но A
n+1
I
(A
i
i
n
=1
U
)=
()
AA
ni
i
n
+
=
1
1
IU
согласно соотношению
(A B
U
) С
I
=(A С
I
) U(B С
I
),
поэтому P(A
n+1
()A
i
i
n
=1
UI
)=P(
i
n
=1
U
(A
n+1
I
A
i
))=
()
PA A
ni
i
n
+
=
∑
1
1
I
−
−
()
PA A A
ii n
ii
12
1
12
+
<
∑ II
+ ... +(−1)
n−1
P( A
i
i
n
=
+
1
1
I
). (1.4.11)
Подставляя (1.4.9) и (1.4.11) в (1.4.10), получим
P( A
i
i
n
=
+
1
1
U
)=
(
)
PA
i
i
n
=
+
∑
1
1
−
(
)
PA A
ii
ii
12
12
I
<
∑
+...+(−1)
n
P( A
i
i
n
=
+
1
1
I
),
что и доказывает теорему сложения вероятностей.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. На экзамене 15 билетов разложены в случайном порядке,
причем студент знает ответ только на 5 билетов. Преподаватель предложил
студенту взять три билета. Найти вероятность того, что хотя бы один билет
попадет студенту, на который он знает ответ.
Решение 1. Событие A (хотя бы один билет из трех студент знает) и со-
бытие
A
( ни одного билета студент не знает) - противоположное.
Поэтому P(A)+P(
A )=1 или P(A)=1−P( A )
P(
A )=C
10
3
/C
15
3
=24/91, P(A)=1−24/91=
67
91
.
Решение 2. Требование, хотя бы один билет попадется студенту, на ко-
торый он может ответить - будет осуществлено, если произойдет любое из
следующих трех
несовместных событий: B - студент знает один билет, С - 
                            P(A U B )≤P(A)+P(B).
     Для n совместных событий теорема сложения имеет вид
                                                           (                          )                      (                    )
          n        n
      P( U A i )= ∑P( A i ) −                     ∑       P Ai1 IAi2 +                           ∑          P A i1 I Ai2 I Ai3 −...+
         i =1     i=1                       1≤i1

Страницы