Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

19
2 билета, D - 3 билета. Интересующее нас событие A можно представить в
виде суммы событий A=B+C+D. По теореме сложения вероятностей
P(A)=P(B)+P(C)+P(D)
P(B)=
CC
C
5
1
10
2
15
3
=
45
91
; P(C)=
СС
С
5
2
10
1
15
3
=
20
91
; P(D)=
C
C
5
3
15
3
=
2
91
P(A)=
45
91
+
20
91
+
2
91
=
67
91
.
§5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Как уже отмечалось, вероятность события P(A) является его исчерпы-
вающей характеристикой.
Однако так обстоит дело лишь в случае одного случайного события. В
действительности часто приходится иметь дело со случаем, когда в каждом
отдельном опыте наступает несколько случайных событий, то есть мы
имеем дело с совокупностью случайных событий. Рассмотрим пример.
Опыт состоит
в том, что симметричная монета подбрасывается три
раза. Событие A состоит в том, что герб выпал один раз. Используя клас-
сическое определение вероятности, получим, что P(A)=
3
8
, то есть
ГГГ PPP ГРГ ГГР из всего набора возможных 8 вариантов
РГГ РРГ РГР ГРР очередности выпадания гербов и решек
событию A соответствуют РРГ, РГР и ГРР.
Теперь на базе этого же опыта рассмотрим совокупность двух событий.
К событию A добавим еще событие B, состоящее в том, что число выпав-
ших гербов нечетно. И
пусть стало известно, что событие B наступило.
Событие B состоит из четырех элементарных исходов, а событие A состо-
ит из трех исходов события B. Значит, эти события как-то связаны между
собой, и, следовательно, вероятность события A при условии, что событие
B наступило, будет иной, чем без этого условия. Эту вероятность называют
условной вероятностью и обозначают P(A/B) или P
B
(A). В нашем случае
P(A/B)=
3
4
3
8
≠ =P(A).
Теорему умножения вероятностей выведем, используя классическое
определение вероятности. Пусть некоторый опыт имеет n возможных ис-
ходов, причем r из них благоприятны для наступления события A, m исхо-
дов благоприятны для наступления события B и в k исходах наступают оба
события A и B (т.е. A B
I
). В соответствии с классическим определением
вероятности 
2 билета, D - 3 билета. Интересующее нас событие A можно представить в
виде суммы событий A=B+C+D. По теореме сложения вероятностей
P(A)=P(B)+P(C)+P(D)
           C15 C10
                2
                         45             С 25 С110       20             C 35       2
   P(B)=     3
                     =      ;   P(C)=      3
                                                    =      ;   P(D)=    3
                                                                              =
            C15          91               С15           91             C15        91
                                                45 20 2 67
                                    P(A)=         + + = .
                                                91 91 91 91

  §5. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей

   Как уже отмечалось, вероятность события P(A) является его исчерпы-
вающей характеристикой.
   Однако так обстоит дело лишь в случае одного случайного события. В
действительности часто приходится иметь дело со случаем, когда в каждом
отдельном опыте наступает несколько случайных событий, то есть мы
имеем дело с совокупностью случайных событий. Рассмотрим пример.
   Опыт состоит в том, что симметричная монета подбрасывается три
раза. Событие A состоит в том, что герб выпал один раз. Используя клас-
                                                                                   3
сическое определение вероятности, получим, что P(A)= , то есть
                                                                                   8
   ГГГ PPP ГРГ ГГР         из всего набора возможных 8 вариантов
   РГГ РРГ РГР ГРР         очередности выпадания гербов и решек
                           событию A соответствуют РРГ, РГР и ГРР.
   Теперь на базе этого же опыта рассмотрим совокупность двух событий.
К событию A добавим еще событие B, состоящее в том, что число выпав-
ших гербов нечетно. И пусть стало известно, что событие B наступило.
Событие B состоит из четырех элементарных исходов, а событие A состо-
ит из трех исходов события B. Значит, эти события как-то связаны между
собой, и, следовательно, вероятность события A при условии, что событие
B наступило, будет иной, чем без этого условия. Эту вероятность называют
условной вероятностью и обозначают P(A/B) или PB(A). В нашем случае
                                                    3      3
                                    P(A/B)= ≠ =P(A).
                                                    4      8
   Теорему умножения вероятностей выведем, используя классическое
определение вероятности. Пусть некоторый опыт имеет n возможных ис-
ходов, причем r из них благоприятны для наступления события A, m исхо-
дов благоприятны для наступления события B и в k исходах наступают оба
события A и B (т.е. A I B ). В соответствии с классическим определением
вероятности


                                                                                       19

Страницы