Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 19 стр.

   Вероятность называется непрерывной сверху на пустом множестве, ес-
ли из того, что An невозрастающая последовательность, сходящаяся к пус-
тому множеству, следует lim P(An)=0.
                          n→∞
   Для того, чтобы вероятность была счетно-аддитивной, необходимо и
достаточно, чтобы она была непрерывной сверху на пустом множестве и
выполнялась обычная теорема сложения.
   6. Теорема сложения вероятностей. Выше было показано, что вероят-
ность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей, то есть,
если A I B =∅, то
                            P(A+B)=P(A)+P(B).
   Получим теперь формулу для вероятности суммы совместных событий,
которая называется теоремой сложения вероятностей.
                                Ω

                                    A      B

                                        AI B
   Как видно из рисунка, в случае объединения двух событий A U В его
можно представить в виде объединения трех несовместных событий
                          A U B =A\B+B\A+A I B .
Тогда по формуле (1.3.1) можем записать
                  P(A U B )=P(A\B)+P(B\A)+P(A I B ).           (1.4.5)
Для определения вероятности P(A\B) воспользуемся следующим представ-
лением события A:
                             A=A\B+A I B .
Откуда
                         P(A)=P(A\B)+P(A I B ),
или
                        P(A\B)=P(A)−P(A I B ).                 (1.4.6)
Аналогично
                             B=B\A+A I B ,
                         P(B)=P(B\A)+P(A I B )
и
                        P(B\A)=P(B)−P(A I B ).                    (1.4.7)
Подставляя в формулу (1.4.5) формулы (1.4.6) и (1.4.7), получим
                      P(A U B )=P(A)+P(B)−P(A I B ).              (1.4.8)
Отсюда следует, что

                                                                      17