Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

1
6
P(A+B)=
mesA mesB
mes
() ()
()
+
Ω
=
mes A
mes
()
()
Ω
+
mes B
mes
()
()
Ω
=P(A)+P(B), (1.4.4)
что соответствует аксиоме 3.
4. Если A
⊂B, то P(B\A)=P(B)−P(A).
Действительно, если A
⊂B, то B=A+(B\A) и P(B)=P(A)+P(B\A). Отсюда
и получаем, что P(B\A)=P(B)
−P(A).
5. P(
A )=1−P(A). В самом деле, A =Ω\A, поэтому
P(
A
)=P(Ω)−P(A)=1−P(A).
Таким образом, можно отметить, что вероятность есть неотрицательная
счетно-аддитивная функция множеств, причем P(
Ω)=1.
В соответствии с понятием меры в функциональном анализе можно
сказать, что вероятность P(A) есть конечная мера с нормировкой P(
Ω)=1.
Поэтому часто говорят не о вероятности, а о вероятностной мере, заданной
на измеримом пространстве.
Вероятностным пространством называют тройку символов (
Ω,F,P), где
Ω - пространство элементарных событий, F - σ-алгебра подмножеств Ω,
называемых случайными событиями, и P - вероятностная мера, определен-
ная на
σ-алгебре F.
Все теоремы функционального анализа, касающиеся свойств меры,
становятся теоремами теории вероятностей с заменой слова “мера” на сло-
во “вероятность”. Напомним некоторые из этих теорем.
a) Теорема о полуаддитивности вероятности.
Если A
k
k
=
∞
1
U
⊃A, то PA
k
k
(
=
∞
∑
1
)≥P(A); в частности, P( A
k
k
=
∞
1
U
)≤ PA
k
k
(
=
∞
∑
1
).
Если
A
n
n=
∞
∑
1
⊂A, то PA
k
k
()
=
∞
∑
1
≤P(A).
б) Теорема о последовательностях случайных событий.
P( lim
n→∞
infA
n
) ≤ lim
n→∞
inf
kn≥
P(A
k
);
P(
lim
n→∞
supA
n
)≥
lim
n→∞
sup
kn≥
P(A
n
);
в частности, если A
n
монотонная последовательность, то
P(
lim
n→∞
A
n
)= lim
n→∞
P(A
n
),
где
lim
n→∞
A
n
означает
A
n
n
=
∞
1
U
или
A
n
n
=
∞
1
I
.
в) Непрерывность вероятности. 
                                mes( A ) + mes(B) mes(A ) mes(B)
                   P(A+B)=                       =       +       =P(A)+P(B), (1.4.4)
                                    mes(Ω)         mes(Ω) mes(Ω)
что соответствует аксиоме 3.
    4. Если A⊂B, то P(B\A)=P(B)−P(A).
    Действительно, если A⊂B, то B=A+(B\A) и P(B)=P(A)+P(B\A). Отсюда
и получаем, что P(B\A)=P(B)−P(A).
    5. P( A )=1−P(A). В самом деле, A =Ω\A, поэтому
                           P( A )=P(Ω)−P(A)=1−P(A).
    Таким образом, можно отметить, что вероятность есть неотрицательная
счетно-аддитивная функция множеств, причем P(Ω)=1.
    В соответствии с понятием меры в функциональном анализе можно
сказать, что вероятность P(A) есть конечная мера с нормировкой P(Ω)=1.
Поэтому часто говорят не о вероятности, а о вероятностной мере, заданной
на измеримом пространстве.
    Вероятностным пространством называют тройку символов (Ω,F,P), где
Ω - пространство элементарных событий, F - σ-алгебра подмножеств Ω,
называемых случайными событиями, и P - вероятностная мера, определен-
ная на σ-алгебре F.
    Все теоремы функционального анализа, касающиеся свойств меры,
становятся теоремами теории вероятностей с заменой слова “мера” на сло-
во “вероятность”. Напомним некоторые из этих теорем.
    a) Теорема о полуаддитивности вероятности.
            ∞                      ∞                                ∞      ∞
     Если   U A k ⊃A, то ∑ P(A k )≥P(A); в частности, P( U A k )≤ ∑ P(A k ).
            k =1                 k =1                               k =1   k =1
             ∞                   ∞
     Если   ∑A     n   ⊂A, то    ∑ P(A k ) ≤P(A).
            n=1                  k =1
     б) Теорема о последовательностях случайных событий.
                         P( lim infAn) ≤ lim inf P(Ak);
                                          n→∞          n→∞ k ≥n
                                        P( lim supAn)≥ lim sup P(An );
                                          n→∞          n→∞   k ≥n

 в частности, если An монотонная последовательность, то
                           P( lim An)= lim P(An),
                                                n→∞    n→∞
                             ∞                  ∞
где lim An означает
     n→∞
                            U An        или   I An .
                            n =1              n =1



     в) Непрерывность вероятности.



16

Страницы