Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

14
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если последовательность событий А
i
такова, что A
i
A
j
I
=∅ при i ≠ j, то
P(
A
i
i
n
=
∑
1
)= PA
i
i
n
()
=
∑
1
. (1.3.1)
Поскольку в теории вероятностей приходится рассматривать последо-
вательность случайных событий, то возникает необходимость в дополни-
тельном предположении, названном расширенной аксиомой сложения.
Расширенная аксиома сложения. Если событие A равносильно наступ-
лению хотя бы одного из попарно несовместных событий A
1
,A
2
,...,A
n
,..., то
P(A)=P(A
1
)+P(A
2
)+...+P(A
n
)+... .
Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей
аксиомой непрерывности.
Аксиома непрерывности. Если последовательность событий
B
1
,B
2
,...,B
n
,... такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее
и произведение всех событий B
n
есть невозможное событий, то P(B
n
)→0
при n
→∞.
Докажем, что расширенная аксиома сложения эквивалентна обычной
аксиоме сложения и аксиоме непрерывности.
1. Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности.
Действительно, пусть события B
1
,B
2
,...,B
n
,... таковы, что B
1
⊃B
2
⊃...⊃B
n
⊃...
и при любом n
≥1.
B
k
kn≥
I
= ∅. (1.3.2)
Очевидно, что
B
n
= BB
k
kn
k
=
∞
+
∑
1
I
+B
k
kn=
∞
I
.
Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместны, то согласно
расширенной аксиоме сложения
P(B
n
)= PB
k
kn
(
=
∞
∑
B
k+1
I
)+P(
B
k
kn
=
∞
I
).
Но согласно условию (1.3.2) P( B
k
kn
=
∞
I
)=0 и, следовательно,
P(B
n
)= P(B
k
k=
∞
∑
n
B
k+1
I
),
т.е. P(B
n
) есть остаток сходящегося ряда
P(B
k
k
k
B
=
∞
+
∑
1
1
I
)=P(B
1
).
Поэтому P(B
n
)→0 при n→∞. 
   Аксиома 3 (аксиома сложения). Если последовательность событий Аi
такова, что Ai I A j =∅ при i ≠ j, то
                                   n               n
                            P( ∑ A i )= ∑ P(A i ) .                         (1.3.1)
                                  i =1            i =1

   Поскольку в теории вероятностей приходится рассматривать последо-
вательность случайных событий, то возникает необходимость в дополни-
тельном предположении, названном расширенной аксиомой сложения.
   Расширенная аксиома сложения. Если событие A равносильно наступ-
лению хотя бы одного из попарно несовместных событий A1,A2,...,An,..., то
                           P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(An )+... .
   Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей
аксиомой непрерывности.
   Аксиома         непрерывности.     Если    последовательность   событий
B1,B2,...,Bn,... такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее
и произведение всех событий Bn есть невозможное событий, то P(Bn)→0
при n→∞.
   Докажем, что расширенная аксиома сложения эквивалентна обычной
аксиоме сложения и аксиоме непрерывности.
   1. Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности.
Действительно, пусть события B1,B2,...,Bn,... таковы, что B1⊃B2⊃...⊃Bn⊃...
и при любом n≥1.
                                  I Bk = ∅.                          (1.3.2)
                                   k≥n
Очевидно, что
                                         ∞                     ∞
                            Bn = ∑ Bk I Bk +1 + I Bk .
                                         k=n                  k=n
Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместны, то согласно
расширенной аксиоме сложения
                                    ∞                                 ∞
                       P(Bn )= ∑ P(B k             I Bk +1 )+P( I Bk ).
                                  k =n                                k=n
                                       ∞
Но согласно условию (1.3.2) P( I B k )=0 и, следовательно,
                                   k=n
                                             ∞
                          P(Bn)= ∑ P(B k                 I Bk +1 ),
                                           k =n
т.е. P(Bn ) есть остаток сходящегося ряда
                           ∞
                          ∑ P(Bk I Bk +1 ) =P(B1 ).
                           k =1

Поэтому P(Bn )→0 при n→∞.

14

Страницы