Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

15
2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения.
Пусть события A
1
,A
2
,...,A
n
,... попарно несовместны и A=A
1
+A
2
+...+A
n
+...
Положим B
n
= A
n
kn=
∞
∑
и отметим, что B
n+1
⊂B
n
. Докажем, что B
n
n
=
∞
1
I
=∅.
Предположим от противного, что
B
n
n
=
∞
1
I
произошло. А это означает, что
наступило и какое-либо из событий A
i
(i≥n) и, значит, в силу попарной не-
совместности событий A
k
события A
i+1
, A
i+2
,... уже не наступили. Таким
образом события B
i+1
, B
i+2
,... не наступили, но это противоречит предпо-
ложению о том, что B
n
n
=
∞
1
I
произошло. По аксиоме непрерывности
P(B
n
)→0 при n→∞. Поскольку A=A
1
+A
2
+...+A
n
+B
n+1
, то по обычной ак-
сиоме сложения
P(A)=P(A
1
)+P(A
2
)+...+P(A
n
)+P(B
n+1
)= lim
n→∞
PA
k
k
n
()
=
∑
1
= PA
k
k
()
=
∞
∑
1
.
§4. Основные свойства вероятности. Вероятностная мера
Рассмотрим свойства вероятности, используя для этого геометрическое
определение вероятности
1. P(
Ω)=
mes
mes
()
()
Ω
Ω
=1; (1.4.1)
P(
∅)=
mes
mes
()
()
∅
Ω
=0. (1.4.2)
Таким образом, вероятность достоверного события равна единице, ве-
роятность невозможного - нулю. Доказанное здесь соотношение (1.4.1) со-
ответствует аксиоме 2, а (1.4.2) получается, кроме того, из очевидного ра-
венства
Ω=∅+Ω и аксиомы 3.
2. Пусть A
⊂B, тогда P(A)≤P(B). Это следует из того, что
mes(A)
≤mes(B), и в этом случае
P(A)=
mes A
mes
()
()
Ω
≤
mes B
mes
()
()
Ω
=P(B).
В частности, поскольку
∅⊂A⊂Ω, то для любого события
0
≤P(A)≤1. (1.4.3)
3. Пусть AB
I
=∅, то есть события A и B несовместные, тогда
P(A+B)=P(A)+P(B) 
   2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения.
Пусть события A1,A2,...,An,... попарно несовместны и A=A1+A2+...+An+...
                    ∞                                                       ∞
   Положим Bn= ∑ A n и отметим, что Bn+1⊂Bn . Докажем, что I B n =∅.
                   k =n                                                     n =1
                                         ∞
Предположим от противного, что           I Bn   произошло. А это означает, что
                                         n =1

наступило и какое-либо из событий Ai (i≥n) и, значит, в силу попарной не-
совместности событий Ak события Ai+1, Ai+2 ,... уже не наступили. Таким
образом события Bi+1, Bi+2 ,... не наступили, но это противоречит предпо-
                              ∞
ложению о том, что           I Bn     произошло. По аксиоме непрерывности
                             n =1

P(Bn)→0 при n→∞. Поскольку A=A1+A2+...+An+Bn+1, то по обычной ак-
сиоме сложения
                                                         n           ∞
        P(A)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+P(Bn+1)= lim          ∑ P(A k ) = ∑ P(A k ) .
                                                    n→∞ k =1         k =1


     §4. Основные свойства вероятности. Вероятностная мера

   Рассмотрим свойства вероятности, используя для этого геометрическое
определение вероятности
                mes(Ω)
     1. P(Ω)=          =1;                                                         (1.4.1)
                mes(Ω)
             mes( ∅ )
       P(∅)=          =0.                                           (1.4.2)
             mes( Ω )
   Таким образом, вероятность достоверного события равна единице, ве-
роятность невозможного - нулю. Доказанное здесь соотношение (1.4.1) со-
ответствует аксиоме 2, а (1.4.2) получается, кроме того, из очевидного ра-
венства Ω=∅+Ω и аксиомы 3.
   2. Пусть A⊂B, тогда P(A)≤P(B). Это следует из того, что
mes(A)≤mes(B), и в этом случае
                                     mes(A ) mes(B)
                             P(A)=          ≤       =P(B).
                                     mes(Ω) mes(Ω)
   В частности, поскольку ∅⊂A⊂Ω, то для любого события
                            0≤P(A)≤1.                    (1.4.3)
   3. Пусть A I B =∅, то есть события A и B несовместные, тогда
P(A+B)=P(A)+P(B)



                                                                                       15

Страницы