Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

22
Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны подряд вынима-
ются два шара. Найти вероятность того, что оба вынутых шара белые.
Решение: Обозначим через A событие, состоящее в том, что оба выну-
тых шара белые. Это событие представляет собой произведение двух со-
бытий: A
1
- появление белого шара при первом вынимании и A
2
- появле-
ние белого шара при втором вынимании. Поэтому
P(A)=P(A
1
)⋅P(A
2
/A
1
)=
2
5
1
4
⋅ =0,1.
Пример 2. Те же условия, что и в примере 1, но после первого вынима-
ния шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.
Решение. В этом случае события A
1
и A
2
независимы и поэтому
P(A)=P(A
1
)⋅P(A
2
)=
2
5
2
5
⋅ =0,16.
§6 Формула полной вероятности и формула Байеса
Пусть имеется вероятностное пространство (
Ω,F,P) и пусть H
1
,H
2
,...,H
n
- полная группа попарно несовместных событий, то есть
1) H
i
∈F, ∀i;
2) H
i
B
I
=∅, ∀i ≠ j;
3)
H
i
j
n
=
∑
1
=Ω.
Рассмотрим некоторое событие A
∈F, для которого известны условные
вероятности P(A/H
i
), i=1, n и вероятность событий H
i
- P(H
i
). Необходимо
найти полную вероятность события A, то есть найти P(A).
Имеем
A=A B
I
=A H
i
i
n
=
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
I
=
()
AH
i
i
n
I
=
∑
1
.
Все слагаемые, стоящие под знаком суммы, - попарно несовместные собы-
тия. Поэтому, используя теорему сложения вероятностей и теорему умно-
жения вероятностей, получим:
P(A)=P A H
i
i
n
I
=
∑
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
=
()
PA H
i
i
n
I
=
∑
1
= PH
i
i
n
()
=
∑
1
P(A/H
i
),
или
P(A)=
PA H PH
ii
i
n
(/ )( )
=
∑
1
. (1.6.1)
Полученная формула называется
формулой полной вероятности. Ею
обычно пользуются, когда относительно интересующего нас события A 
   Пример 1. В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны подряд вынима-
ются два шара. Найти вероятность того, что оба вынутых шара белые.
   Решение: Обозначим через A событие, состоящее в том, что оба выну-
тых шара белые. Это событие представляет собой произведение двух со-
бытий: A1 - появление белого шара при первом вынимании и A2 - появле-
ние белого шара при втором вынимании. Поэтому
                                                      2 1
                            P(A)=P(A1)⋅P(A2/A1)= ⋅ =0,1.
                                                      5 4
   Пример 2. Те же условия, что и в примере 1, но после первого вынима-
ния шар возвращается в урну, и шары в урне перемешиваются.
   Решение. В этом случае события A1 и A2 независимы и поэтому
                                                    2 2
                             P(A)=P(A1)⋅P(A2)= ⋅ =0,16.
                                                    5 5

                §6 Формула полной вероятности и формула Байеса

    Пусть имеется вероятностное пространство (Ω,F,P) и пусть H1,H2,...,Hn
- полная группа попарно несовместных событий, то есть
    1) Hi∈F, ∀i;
    2) Hi I B =∅, ∀i ≠ j;
          n
     3)   ∑ H i =Ω.
          j=1

   Рассмотрим некоторое событие A∈F, для которого известны условные
вероятности P(A/Hi), i=1, n и вероятность событий Hi - P(Hi). Необходимо
найти полную вероятность события A, то есть найти P(A).
   Имеем
                                     ⎛ n    ⎞ n
                     A=A I B =A I ⎜ ∑ H i ⎟ = ∑ ( A I H i ) .
                                     ⎝ i=1 ⎠ i =1
Все слагаемые, стоящие под знаком суммы, - попарно несовместные собы-
тия. Поэтому, используя теорему сложения вероятностей и теорему умно-
жения вероятностей, получим:
                                                       n
                    ⎛ n         ⎞ n
             P(A)=P ⎜ ∑ A I H i ⎟ = ∑ P( A I H i ) = ∑ P(H i ) P(A/Hi),
                    ⎝ i=1       ⎠ i=1                i =1
или
                                    n
                            P(A)= ∑ P(A / H i ) P(H i ) .         (1.6.1)
                                   i =1
Полученная формула называется формулой полной вероятности. Ею
обычно пользуются, когда относительно интересующего нас события A

22

Страницы