Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

25
p(x)=
(
)
(
)
[]
1
2
11pp
xx++ − , где 0≤х≤а,
причем p(0)=1 и p(
a)=0, что соответствует условиям разорения игрока. Ре-
шением этого уравнения является линейная функция
p(
x)=C
1
+C
2
x,
коэффициенты которой определяются из граничных условий
p(0)=C
1
=1, p(a)=C
1
+C
2
a=0.
Отсюда получаем окончательное выражение для искомой вероятности
разорения p(
x) при начальном капитале игрока х:
p(
x)=1−
x
a
.
§ 7.Частная теорема о независимых опытах.
Биномиальное распределение
Пусть имеется некоторое случайное событие A. Производится n опы-
тов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A.
Сделаем следующие предположения:
a) проводимые опыты независимы, то есть наступление или ненаступ-
ление события A в любом опыте не влияет на исход других опытов;
б) вероятность наступления события A в каждом из опытов одинакова
P(A)=p.
Определим вероятность того, что в n опытах событие A наступит ровно
m раз - P
n
(m).
Обозначим через A
i
наступление события A в i-ом опыте, а через B
nm
-
событие, наступающее тогда, когда в n опытах событие A наступает m раз.
Тогда получим:
B
nm
= AA A A A
m
mn
12
1
... ...
+
IIIIII
+
+
AA A A A
m
mn1
21
2
... ...
+
+
IIIIII
+...
В качестве примера выписаны лишь две комбинации исходов n опытов,
когда событие A наступает m раз.
Учитывая, что эти комбинации представляют собой несовместные со-
бытия, получим:
P
n
(m)=P(B
nm
)=P( AA A A A
m
mn
12
1
... ...
+
IIIIII
)+
+P(
AA A A A
m
mn1
21
2
... ...
+
+
IIIIII
)+...
Используя теорему умножения вероятностей для независимых исходов
опытов, получаем:
P
n
(m)=P(A
1
)P(A
2
)...P(A
m
)P( A
m+1
)...P( A
n
)+P( A
1
)P(A
2
)...
...P(A
m+1
)P( A
m+2
)...P( A
n
)+... (1.7.1) 
                               1
                       p(x)=
                               2
                                [                    ]
                                 p( x + 1) + p( x − 1) , где 0≤х≤а,
причем p(0)=1 и p(a)=0, что соответствует условиям разорения игрока. Ре-
шением этого уравнения является линейная функция
                                p(x)=C1+C2x,
коэффициенты которой определяются из граничных условий
                         p(0)=C1=1, p(a)=C1+C2a=0.
   Отсюда получаем окончательное выражение для искомой вероятности
разорения p(x) при начальном капитале игрока х:
                                                 x
                                       p(x)=1− .
                                                 a

             § 7.Частная теорема о независимых опытах.
                    Биномиальное распределение

   Пусть имеется некоторое случайное событие A. Производится n опы-
тов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A.
Сделаем следующие предположения:
   a) проводимые опыты независимы, то есть наступление или ненаступ-
ление события A в любом опыте не влияет на исход других опытов;
   б) вероятность наступления события A в каждом из опытов одинакова
P(A)=p.
   Определим вероятность того, что в n опытах событие A наступит ровно
m раз - Pn(m).
   Обозначим через Ai наступление события A в i-ом опыте, а через Bnm-
событие, наступающее тогда, когда в n опытах событие A наступает m раз.
Тогда получим:
                  Bnm= A1 I A 2 I ... I A m I A m +1 I ... I A n +
                  + A1 I A 2 I ... I A m +1 I A m +2 I ... I A n +...
   В качестве примера выписаны лишь две комбинации исходов n опытов,
когда событие A наступает m раз.
   Учитывая, что эти комбинации представляют собой несовместные со-
бытия, получим:
            Pn(m)=P(Bnm)=P( A1 I A 2 I ... I A m I A m +1 I ... I A n )+
                 +P( A1 I A 2 I ... I A m +1 I A m +2 I ... I A n )+...
   Используя теорему умножения вероятностей для независимых исходов
опытов, получаем:
           Pn(m)=P(A1)P(A2)...P(Am)P( A m +1 )...P( A n )+P( A 1 )P(A2)...
                    ...P(Am+1)P( A m +2 )...P( A n )+...                   (1.7.1)

                                                                               25

Страницы