Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 29 стр.

ным или наивероятнейшим значением появления события A в серии из n
испытаний.
    Пример 1. Система автоматического управления космического лета-
тельного аппарата состоит из шести основных узлов, вероятность выхода
из строя каждого из которых при динамических перегрузках равна 0,3. При
выходе из строя трех или меньшего числа узлов система автоматического
управления из строя не выходит. При выходе из строя четырех узлов веро-
ятность выхода САУ из строя равна 0,3, при выходе из строя пяти узлов -
0,7, при выходе из строя шести узлов - 1. Определить вероятность выхода
САУ из строя при динамических перегрузках (событие A).
    Решение. Вероятности выхода из строя четырех, пяти и шести узлов по
формуле (1.7.2) соответственно равны:
                                            6!
                  P6(4)= C 46 p 4 (1 −p) 2 =     0,34 ⋅ 0,72 ≈ 0,0595 ,
                                           4 !2!
                                            6!
                    P6(5)= C 56 p 5 (1−p)=      0,35 ⋅ 0,7 ≈ 0,0102 ,
                                           5!1!
                                           6 !
                        P6(6)= C 66 p 6 = ⋅ 0,36 ≈ 0,0007 .
                                           6!
   По формуле полной вероятности находим вероятность выхода из строя
САУ:
               P(A) ≈ 0,0595 ⋅ 0,3+0,0102 ⋅ 0,7+0,0007 ⋅ 1 ≈ 0,0257.
   Пример 2. Известно, что 1/45 часть продукции, изготовляемой заводом,
не удовлетворяет требованиям стандарта. Завод изготовил 4500 единиц
продукции. Найти наивероятнейшее число изделий завода, удовлетворяю-
щих требованиям стандарта.
   Решение. Поскольку вероятность изготовления бракованного изделия
q=1/45, то вероятность изделия, удовлетворяющего стандарту, p=44/45. По
формуле (1.7.5)
                  4500 ⋅ 44/45−1/45 ≤ mo ≤ 4500 ⋅ 44/45+44/45,
или
                          4400−1/45 ≤ mo ≤ 4400+44/45.
   Итак, искомое наиболее вероятное число изделий, удовлетворяющих
требованиям стандарта, равна 4400.

       §8. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа

   Формулой Бернулли для вероятности того, что в n опытах событие на-
ступит ровно m раз
                                        n!
                         Pn(m)=                p m (1 − p) n −m ,
                                   m !(n − m)!

                                                                          27