Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

29
=−(np+x npq)ln(1+x
q
np
nq x npq x
p
nq
)( )( )−− −
ln 1 .
Используя разложение
ln(1+z) в ряд Тейлора функций
ln(1+x
q
np
)
и ln(1-x
p
nq
)
:
ln(1+z)=z−
z
2
2
2
0+ ()z
,
получаем
lnznpxnpqx
q
np
q
np n
nq x npq x
p
nq
p
nq n
=− + − + −
−− − − +
()[ ()]
()[ ()].
x
x
2
2
2
0
1
2
0
1
Раскрывая скобки, получим
lnz=−x
npq x q q x npq x p p−+ ++ −+ +
2
2
2
2
2
01
2
01
х x
() ()
=−
x
2
2
01+ ()
,
так что при n
→∞ z∼e
−
x
2
2
(знак ∼ означает асимптотически равно).
Итак, окончательно имеем
npqP m
n
()∼
1
2
2
2
π
e
x
−
, x=
mnp
npq
−
. (1.8.1.)
Эта формула носит название
локальной предельной теоремы Муавра-
Лапласа.
Более старая ее запись такова.
Если
a≤x≤в, где x=
mnp
npq
−
, то
lim
()
n
n
x
npqP m
e
→∞
−
=
1
2
1
2
2
π
. (1.8.2)
Эта формула дает достаточно хорошее приближение уже для n
≥25,
причем совпадение тем лучше, чем ближе p к 0,5. При p=0,5 биномиальное
распределение P
n
(m) имеет симметричную форму, но при малых значениях
p биномиальное распределение становится асимметричным.
Пример 1. По данным ОТК завода, 0,8 всего объема выпускаемых мик-
росхем не имеет дефектов. Найти вероятность того, что среди взятых нау-
гад 400 микросхем дефекты будут иметь 80 микросхем.
Решение. В соответствии с формулой (1.8.1) 
                                           q                               p
             =−(np+x npq ) ln(1+x             ) − ( nq − x npq ) ln(1 − x    ).
                                           np                             nq
Используя разложение ln(1+z) в ряд Тейлора функций
                                           q              p
                               ln(1+x         ) и ln(1-x    ):
                                           np            nq
                                                  z2
                                 ln(1+z)=z−          + 0( z 2 ) ,
                                                  2
получаем
                                          q    x2 q     1
                  lnz = −( np + x npq )[x    −      + 0( )] −
                                          np   2 np     n
                                       p   x2 p     1
                  −( nq − x npq )[− x    −      + 0( )].
                                      nq   2 nq     n
Раскрывая скобки, получим
                               х2                            x2             x2
    lnz=−x   npq − x 2q +         q + 0(1) + x npq − x 2 p +    p + 0(1) =−    + 0(1) ,
                               2                             2              2
                          x2
                      −
так что при n → ∞ z∼ e   (знак ∼ означает асимптотически равно).
                          2

    Итак, окончательно имеем
                                                           x2
                                        1 −2      m − np
                            npqPn (m) ∼    e , x=        .                        (1.8.1.)
                                        2π         npq
   Эта формула носит название локальной предельной теоремы Муавра-
Лапласа. Более старая ее запись такова.
                        m − np
   Если a≤x≤в, где x=          , то
                         npq
                                           npqPn (m)
                                    lim                         = 1.              (1.8.2)
                                    n →∞                  x2
                                             1        −
                                                  e       2
                                             2π
    Эта формула дает достаточно хорошее приближение уже для n≥25,
причем совпадение тем лучше, чем ближе p к 0,5. При p=0,5 биномиальное
распределение Pn(m) имеет симметричную форму, но при малых значениях
p биномиальное распределение становится асимметричным.
    Пример 1. По данным ОТК завода, 0,8 всего объема выпускаемых мик-
росхем не имеет дефектов. Найти вероятность того, что среди взятых нау-
гад 400 микросхем дефекты будут иметь 80 микросхем.
    Решение. В соответствии с формулой (1.8.1)


                                                                                       29

Страницы