Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 33 стр.

    Теорема. (Пуассона.) Пусть pn→0 при n→∞, причем так, что npn→λ,
где λ>0. Тогда для любого m=1,2,...
                                                   λm − λ
                                    Pn (m) ⎯n⎯⎯→
                                             →∞
                                                      ⋅e .
                                                   m!
   Доказательство. По формуле Бернулли для любых n и m имеем:
                        Pn(m)= C mn p mn (1-pn)n−m=
                   n!                      n(n − 1)...( n − m + 1) m
                          ⋅ p n (1-pn)n−m=                        ⋅ p n (1-pn)n.
                              m
          =
              m !(n − m)!                      m !(1 − p n ) m


Умножим и поделим на nm. Получаем
                              1
                          1(1 − )...(1 − m − 1)                   np n n
                 Pn(m)=       n               n ⋅ ( np n ) m
                                                             (1 −     ) .
                              m !(1 − p n ) m                      n
При фиксированном m имеем
                                                               np n n
          lim(1 − p n ) m = 1, lim( np n ) m = λm , lim(1 −        ) = e −λ ,
          n →∞                     n→∞                n→∞       n
                       lim 1(1 −
                                    1
                                      )(1 − 2 )...(1 − m − 1) = 1.
                       n →∞         n       n           n
Окончательно
                                               λm − λ
                                  lim Pn (m) =    ⋅e .                             (1.9.1)
                                  n →∞         m!
Соотношение (1.9.1) называется формулой или распределением Пуассона.
Из-за малости значений p распределение Пуассона называют также зако-
ном распределения редких событий.
   Рассмотрим поведение Pn(m) как функции от m при больших n. Для
этого рассмотрим соотношение
                               Pn (m)      λm e − λ (m − 1)! λ
                                         ≈                  = .
                              Pn (m − 1)    m !λm −1e − λ    m
    Видно, что если m>λ, то Pn(m)Pn(m-
1), если m=λ, то Pn(m)=Pn(m−1). Отсюда делаем вывод, что величина Pn(m)
возрастает при увеличении m от 0 до m0=[λ] и при дальнейшем увеличении
m убывает. Если λ целое число, то Pn(m) имеет два максимальных значе-
ния: при m0=λ и m '0 =λ−1. Наивероятнейшее значение числа наступления
события приходится на λ − целое число.
     Отметим, что для распределения Пуассона выполняется условие:



                                                                                       31