Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 35 стр.

    Остановимся на понятии случайной величины. Часто результатом опы-
та является не событие, а величина, число. Многократно повторяя опыты,
мы получаем различные значения этой интересующей нас величины, не-
смотря на неизменный комплекс условий проведения опыта. Примерами
случайной величины являются: число вызовов, поступивших от абонентов
на телефонную станцию в течение некоторого интервала времени; сумма
выпавших очков на верхних гранях при подбрасывании двух игральных
костей; дальность полета снаряда при выстреле из орудия; время безотказ-
ной работы электроприбора и т.д. Все эти значения заранее предсказать
невозможно, и в одних и тех же условиях они будут различными, то есть
они будут величинами случайными.
    Таким образом, под случайной величиной будем понимать такую вели-
чину, которая в результате опыта принимает неизвестное заранее значе-
ние, причем оно от опыта к опыту может изменяться.
    Дадим более строгое определение случайной величины. Основой всех
вероятностных построений является вероятностное пространство (Ω,F,P),
где Ω − пространство элементарных событий, F − σ-алгебра на этом про-
странстве и P − вероятностная мера. Каждому элементу ω пространства
элементарных событий Ω нужно поставить в соответствие некоторое чис-
ло. Поскольку от опыта к опыту ω меняется, то и числа будут меняться, то
есть получится случайная величина.
    Такое сопоставление элементарному событию ω числа является функ-
цией ξ(ω), определенной на Ω. Но рассматривать произвольные функции
ξ(ω) весьма затруднительно с математической точки зрения, поэтому на
класс функций ξ(ω) наложены некоторые ограничения.
    Обозначим через R множество вещественных чисел x, − ∞  , где <αi,βi> −
                                              i
отрезок, замкнутый или открытый. Поэтому естественно требовать, чтобы
функции ξ(ω) не только отображали Ω в R, но также отображали в опреде-
лённом смысле σ-алгебру F в борелевскую алгебру B, то есть функции
ξ(ω) совершали отображение:
                                    ξ( ω )
                              (Ω,F) → (R,B).
Такие функции называются измеримыми; для них выполняется условие
∀В∈B: ξ −1 (В)∈F. Таким образом, случайная величина ξ(ω) − произвольная
измеримая функция, определенная на (Ω,F) и отображающая (Ω,F) в
(R,B).

                                                                       33