Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

35
Доказательство. Если x
1
< x
2
, то {ω: ξ(ω) < x
1
}⊂{ω: ξ(ω) < x
2
}.
По свойствам вероятности
P({
ω: ξ(ω) < x
1
})≤P({ω: ξ(ω) < x
2
})
или
F(x
1
) ≤F(x
2
).
Свойство 2. F(x) удовлетворяет следующим соотношениям:
lim ( )
x
Fx
→−∞
=
0 , lim ( )
x
Fx
→+∞
=
1.
Доказательство.
Рассмотрим последовательность чисел x
n
↓−∞ и соот-
ветствующую ей последовательность событий A
n
={ω:ξ(ω)<x
n
}. Так как
любые реальные величины принимают лишь конечные значения и значе-
ний, равных
−∞, быть не может, то последовательность событий A
n
↓∅.
Поэтому
lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )
xn
n
n
nn
n
Fx Fx PA P A P
→−∞ →∞ →∞
=
∞
== ==∅=
1
0
I
.
Аналогично, взяв последовательность чисел x
n
↑
∞ и соответствующую
последовательность событий B
n
={ω:ξ(ω)<x
n
}, получим, что B
n
↑Ω, и по-
этому
lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( )
xn
n
n
nn
n
Fx Fx PB P B P
→+∞ →∞ →∞
=
∞
=====
1
1
U
Ω . (2.2.2)
Свойство 3. Функция распределения F(x) непрерывна слева, то есть
при x
↑x
0
lim ( ) ( )
xx
o
Fx Fx
→−
=
0
0
.
Доказательство. Возьмем любую последовательность x
n
↑x
0
и рас-
смотрим события A
n
={ω:ξ(ω)<x
n
}и А={ω:ξ(ω)<x
0
}. Очевидно, что A
n
↑ и
A
n
n=
∞
1
U
=A. Поэтому
lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
xx n
n
n
nn
n
Fx Fx PA P A PA Fx
→ − →∞ →∞
=
∞
== ===
0
0
1
0
U
.
Из функционального анализа известно, что функция F(x) определяет на
борелевской
σ-алгебре числовой прямой меру Лебега-Стилтьеса μ
F
. По-
этому
P{
a≤ξ<b}=F(b)−F(a);
P{
a≤ξ≤b}=F(b+0)−F(a); (2.2.3) 
      Доказательство. Если x1 < x2, то {ω: ξ(ω) < x1}⊂{ω: ξ(ω) < x2}.

По свойствам вероятности

                           P({ω: ξ(ω) < x1})≤P({ω: ξ(ω) < x2})

или

                                           F(x1) ≤F(x2).

      Свойство 2. F(x) удовлетворяет следующим соотношениям:
                            lim F (x) = 0 , lim F (x) = 1 .
                                    x→−∞              x→+∞
   Доказательство. Рассмотрим последовательность чисел xn↓− ∞ и соот-
ветствующую ей последовательность событий An={ω:ξ(ω)

Страницы