Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

3
7
p(x)=F′(x). (2.2.5)
Соответствующая случайная величина называется
непрерывной случай-
ной величиной
, а функция (2.2.5) плотностью распределения вероятно-
стей
случайной величины. Для непрерывных случайных величин плот-
ность распределения вероятностей является основной характеристикой.
Рассмотрим основные свойства плотности распределения вероятностей.
Свойство 1. p(x)≥0.
Доказательствo. Поскольку F(x) − неубывающая функция, то
p(x)=F
′(x) ≥0.
Свойство 2. P{a≤ξ<b}= pxdx()
a
b
∫
.
(2.2.6)
Доказательство. P{a≤ξ<b}=F(b)−F(a)= p x dx p x dx p x dx() () ()
−∞ −∞
∫∫∫
−=
ba
a
b
.
Для произвольного множества A
⊂Ω это свойство можно записать так:
P{
ξ∈A}= pxdx
A
()
∫
.
Отсюда, в частности, если p(x) непрерывна в точке x, то с точностью до
бесконечно малых высших порядков
P{x
≤ξ<x+
Δ
x}=
ptdt px x x
x
xx
() ( ) ( )
+
∫
=+
Δ
ΔΔ0
.
Поэтому часто плотность распределения вероятностей p(x) определяют как
p(x)=
lim
()
Δ
Δ
Δ
x
Px x x
x
→
≤
<
+
0
ξ
.
Свойство 3. pxdx()
−∞
∞
∫
=1. (2.2.7)
Доказательство.
pxdx F xdx F F() () ( ) ( )
−∞
∞
−∞
∞
∫∫
=
′
=+∞−−∞=−=101
.
Соотношение (2.2.7) для плотности вероятностей носит название
усло-
вия нормировки.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Построить ряд распределения числа выпавших гербов при
подбрасывании двух симметричных монет.
Решение. В зависимости от исхода опыта это число может быть равным
0,1 и 2. Выберем в качестве элементарных следующие события
ω
1
=ГГ,
ω
2
=РГ, ω
3
=ГР, ω
4
=РР, которые являются равновозможными и поэтому их
вероятности P(
ω
i
)=1/4. Зная вероятности P(ω
i
), находим вероятность того, 
                              p(x)=F′(x).                        (2.2.5)
    Соответствующая случайная величина называется непрерывной случай-
ной величиной, а функция (2.2.5) плотностью распределения вероятно-
стей случайной величины. Для непрерывных случайных величин плот-
ность распределения вероятностей является основной характеристикой.
    Рассмотрим основные свойства плотности распределения вероятностей.
    Свойство 1. p(x)≥0.
    Доказательствo.     Поскольку F(x) − неубывающая функция, то
p(x)=F′(x) ≥0.
                              b
   Свойство 2. P{a≤ξ

Страницы