Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

39
P{0≤ξ<1/k}=F(1/k)−F(0)=1−5/(2e)−0 ≈ 0,086.
§3. Многомерные случайные величины
Достаточно часто результатом опыта является не одна, а несколько
случайных величин. В этом случае рассматривается случайный вектор или
многомерная случайная величина.
n-мерная случайная величина определяется как совокупность n изме-
римых функций
ξ
1
(ω),ξ
2
(ω),...,ξ
n
(ω), отображающих (Ω,F) в (R
n
,B), где B -
боролевская
σ - алгебра в R
n
.
Необходимым и достаточным условием измеримости системы функций
является условие:
∀x
1
,x
2
,...,x
n
:
{
ω:ξ
1
(ω)<x
1
, ξ
2
(ω)<x
2
,..., ξ
n
(ω)<x
n
}∈F.
Поэтому основной характеристикой n-мерной случайной величины
ξ=(ξ
1
,ξ
2
,..., ξ
n
) является n-мерная функция распределения
F
ξ
(x
1
,x
2
,...,x
n
)=P{ξ
1
<x
1
, ξ
2
<x
2
,..., ξ
n
<x
n
}.
Свойства функции распределения F
ξ
(x
1
,x
2
,...,x
n
) аналогичны свойством
функции распределения одномерной случайной величины.
Свойство 1. F
ξ
(x
1
,x
2
,...,x
n
) - неубывающая функция по каждому из сво-
их аргументов.
Свойство 2. lim ( , ,..., )
x
n
i
Fxx x
→−∞
=
ξ 12
0 ∀i,
lim ( , ,..., )
, ,...,xx x
n
n
Fxx x
12
12
1
→+∞
=
ξ
.
Свойство 3. lim ( , ,..., ) ( , ,..., )
x
nn
n
Fx x x Fx x x
→+∞
−
=
12 12 1
.
Доказательство.
F(x
1
,x
2
,...,x
n-1
)=P{ξ
1
<x
1
,ξ
2
<x
2
,..., ξ
n-1
<x
n-1
,ξ
n
<+∞}=F(x
1
,x
2
,...,x
n-1
, +∞).
Таким образом, чтобы найти функцию распределения подсистемы случай-
ных величин меньшей размерности, необходимо в n-мерной функции рас-
пределения не интересующие нас аргументы устремить к +
∞. Это свойство
называется
свойством согласованности.
Свойство согласованности позволяет находить одномерные законы
распределения случайных величин, входящих в
ξ=(ξ
1
, ξ
2
,..., ξ
n
).
Свойство 4. Если F(x
1
,x
2
,...,x
n
) абсолютно непрерывна, то n-мерная
случайная величина
ξ=(ξ
1
, ξ
2
,..., ξ
n
) называется непрерывной. В этом слу-
чае F(x
1
,x
2
,...,x
n
) можно представить в виде.
F(x
1
,x
2
,...,x
n
)= ... ( , ,..., ) ...
−∞ −∞
∫∫
x
nn
x
p t t t dt dt dt
n1
12 2 1
, 
                   P{0≤ξ<1/k}=F(1/k)−F(0)=1−5/(2e)−0 ≈ 0,086.

                §3. Многомерные случайные величины

    Достаточно часто результатом опыта является не одна, а несколько
случайных величин. В этом случае рассматривается случайный вектор или
многомерная случайная величина.
    n-мерная случайная величина определяется как совокупность n изме-
римых функций ξ1(ω),ξ2(ω),...,ξn(ω), отображающих (Ω,F) в (Rn,B), где B -
боролевская σ - алгебра в Rn.
    Необходимым и достаточным условием измеримости системы функций
является условие: ∀x1,x2,...,xn :
                       {ω:ξ1(ω)

Страницы