Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 46 стр.

                                  ∞ ∞
                                                        Adxdy
                                   ∫ ∫π  (16 +2
                                               x 2
                                                   )(25 + y 2
                                                              )
                                                                = 1,
                                −∞ −∞
                          A 1         x∞ 1            y∞
                               arctg          arctg           = 1 , A=20.
                          π2 4        4 −∞ 5          5 −∞
   б) По свойству 4 функции распределения многомерной случайной ве-
личины
                         x y
                    20                dudv               1       x 1 1       y 1
          F(x,y)=        ∫ ∫
                    π 2 −∞ −∞ (16 + u 2 )(25 + v 2 )
                                                     = (
                                                         π
                                                           arctg  + )(
                                                                 4 2 π
                                                                       arctg  + ).
                                                                             5 2
   в) В соответствии со свойством согласованности функции распределе-
ния
                                                  x ∞
                                         20                        dudy
                               Fξ(x)=             ∫ ∫
                                π −∞ −∞ (16 + u 2 )(25 + y 2 )
                                          2
                                                               =

                     20 1     u x 1        y∞        1           x π
                    = 2 arctg        arctg         = (arctg + ) .
                     π 4      4 −∞ 5       5 −∞ π                4 2
     Аналогично находим.
                                                    1               y     π
                                     Fη(y)= (arctg + ) .
                                                    π               5     2
   г) Плотности вероятностей pξ(x) и pη(y) находим, дифференцируя Fξ(x)
и Fη(y):
                                              4                                       5
                           pξ(x)=                        , pη(y)=                              .
                                     π(16 + x 2 )                         π(25 + y 2 )
   Пример 2. Двумерная случайная величина (ξ,η) равномерно распреде-
лена внутри круга радиусом a с плотностью вероятностей
                                         ⎧⎪1 / ( πa2 ), x 2 + y 2 < a2 ;
                               pξη(x,y)= ⎨
                                          ⎪⎩0,          x 2 + y 2 > a2 .
     Найти условную плотность вероятности p(x/y).
     Решение. Используя свойство согласованности, находим pη(y)
                                   ⎧     +               a2 − y2
                                   ⎪ 1                                        2
                     ∞
                                   ⎪
              pη(y)= ∫ p(x, y)dx = ⎨ πa2                 ∫         dх =
                                                                          πa      2
                                                                                          a2 − y 2 , y < a;
                                         −               a2 − y2
                    −∞             ⎪
                                   ⎪⎩ 0 ,                                                           y > a.
     По формуле (2.3.4) определяем p(x/y):
                                 ⎧    1
                                 ⎪           , y < a, x < a2 − y 2 ;
                                      2    2
                         p(x/y)= ⎨ 2 a − y
                                 ⎪0,    y > a, или x > a2 − y 2 .
                                 ⎩

44