Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

4
7
x
1
=ϕ
1
(y
1
,y
2
,...,y
n
);
x
2
=ϕ
2
(y
1
,y
2
,...,y
n
);
. . . . . . . . . . . . . . .
x
n
=ϕ
n
(y
1
,y
2
,...,y
n
).
В пространстве R
n
выберем некоторую бесконечно малую область D пло-
щадью S
D
. Ей будет соответствовать при отображении, осуществляемом
функциями f
1
,f
2
,...,f
n
, область G площадью S
G
. Так как x и y связаны вза-
имно однозначно, то P{
ξ∈D}=P{η∈G}. Если область D окружает точку
x=(
ϕ
1
(y), ϕ
2
(y),..., ϕ
n
(y)), а область G - точку y=(y
1
,y
2
,...,y
n
),то
p
η
(y
1
,y
2
,...,y
n
)S
G
=p
ξ
(ϕ
1
(y), ϕ
2
(y),..., ϕ
n
(y))S
D
.
Откуда p
η
(y
1
,y
2
,...,y
n
)= p
ξ
(ϕ
1
(y), ϕ
2
(y),..., ϕ
n
(y))
S
S
D
G
.
Но для бесконечно малых областей
S
S
D
G
=
∂ϕ ϕ ϕ
∂
( ( ), ( ),..., ( ))
( , ,..., )
12
12
yy y
yy y
n
n
, и оконча-
тельно получаем:
p
η
(y
1
,y
2
,...,y
n
)= p
ξ
(ϕ
1
(y), ϕ
2
(y),..., ϕ
n
(y))
∂ϕ ϕ ϕ
∂
( ( ), ( ),..., ( ))
( , ,..., )
12
12
yy y
yy y
n
n
(2.4.4)
Этот же результат строго доказывается в функциональном анализе (теоре-
ма об образе меры при отображении).
4. Рассмотрим случай, когда в системе (2.4.1) m<n и f
1
,f
2
,...,f
m
- диффе-
ренцируемые функции. Для того, чтобы воспользоваться случаем 3, вво-
дим дополнительные случайные величины
η
m+1
=f
m+1
(ξ
1
,ξ
2
,..., ξ
n
);
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
η
n
=f
n
(ξ
1
,ξ
2
,..., ξ
n
),
чтобы система уравнений
y
1
=f
1
(x
1
,x
2
,...,x
n
);
y
2
=f
2
(x
1
,x
2
,...,x
n
);
. . . . . . . . . . . . . . . .
y
m
=f
m
(x
1
,x
2
,...,x
n
); (2.4.5)
y
m+1
=f
m+1
(x
1
,x
2
,...,x
n
);
. . . . . . . . . . . . . . . . .
y
n
=f
n
(x
1
,x
2
,...,x
n
)
однозначно разрешалась относительно x
1
,x
2
,...,x
n
. Свобода в выборе функ-
ций f
m+1
,..., f
n
может быть использована для того, чтобы решение системы
(2.4.5) имело наиболее простой вид.
Разрешаем систему (2.4.5) относительно переменных x
1
,x
2
,...,x
n
: 
                                     x1=ϕ1(y1,y2,...,yn);
                                     x2=ϕ2(y1,y2,...,yn);
                                     ...............
                                     xn=ϕn(y1,y2,...,yn).
В пространстве Rn выберем некоторую бесконечно малую область D пло-
щадью SD. Ей будет соответствовать при отображении, осуществляемом
функциями f1,f2,...,fn, область G площадью SG . Так как x и y связаны вза-
имно однозначно, то P{ξ∈D}=P{η∈G}. Если область D окружает точку
x=(ϕ1(y), ϕ2(y),..., ϕn(y)), а область G - точку y=(y1,y2,...,yn),то
                     pη(y1,y2,...,yn)SG=pξ(ϕ1(y), ϕ2(y),..., ϕn(y))SD.
                                                                      SD
Откуда               pη(y1,y2,...,yn)= pξ(ϕ1(y), ϕ2(y),..., ϕn(y))       .
                                                                      SG
                                            SD ∂(ϕ1 (y), ϕ 2 ( y),..., ϕ n (y))
Но для бесконечно малых областей               =                                , и оконча-
                                            SG      ∂(y1, y 2 ,..., y n )
тельно получаем:
                                                         ∂(ϕ1 (y), ϕ 2 (y),..., ϕ n (y))
         pη(y1,y2,...,yn)= pξ(ϕ1(y), ϕ2(y),..., ϕn(y))                                   (2.4.4)
                                                              ∂(y1, y 2 ,..., y n )
Этот же результат строго доказывается в функциональном анализе (теоре-
ма об образе меры при отображении).
    4. Рассмотрим случай, когда в системе (2.4.1) m

Страницы