Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 51 стр.

                                            ω=η
и разрешаем систему уравнений.
                                              x
                                            z= ,
                                              y
                                            u=y
относительно x и y:
                                         x=zu,
                                        y=u.
Находим pζω(z,u):
                                ∂(x, y)    u z
                                         =     = u
                                ∂( z, u)   0 1
                          pζω(z,u)=pξη(zu,u) u .
Интегрируя последнее выражение по u, получим
                                       ∞
                              pζ(z)= ∫ u p ξη ( zu, u)du .
                                       −∞

   Пример 3. Найти pζ(z), если ζ = ξ 2 + η2 .
   Решение. Функция, с помощью которой образована ζ, имеет вид
z= x 2 + y 2 . Дополнительную переменную ϕ введём таким образом, чтобы
обратное отображение имело вид.
                                  x=zcosϕ,
                                  y=z sinϕ
и выполнялись условия
                                0≤ϕ<2π и z>0.
Находим pζϕ(z, ϕ)
                          ∂(x, y)    cos ϕ - z sin ϕ
                                   =                 = z,
                          ∂( z, ϕ)   sin ϕ z cos ϕ
                       pζϕ(z, ϕ)=zpξη(zcosϕ, z sinϕ).
   Поскольку 0≤ϕ<2π, то
                                  2π
                         pζ(z)= z ∫ p ξη ( z cos ϕ, z sin ϕ)d ϕ .
                                   0




                      § 5. Математическое ожидание

   Функция распределения является универсальной характеристикой слу-
чайной величины, описывающей как дискретные, так и непрерывные слу-

                                                                    49