Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

51
Продолжая таблицу соответствий терминологии функционального анализа
и теории вероятностей, можно записать
функциональный анализ теория вероятностей
интеграл Лебега
gdP(( )) ( )ξω ω
Ω
∫
математическое ожидание функции
g(ξ) от случайной величины ξ
Рассмотрим теорему о вычислении математического ожидания.
Теорема. Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения
Fx
ξ
(). Тогда
Mg gxdF x{()} () ()ξ
ξ
=
−∞
∞
∫
,
где интеграл понимается в смысле Лебега-Стильтьеса. В частности,
MxdFx{} ()ξ
ξ
=
−∞
∞
∫
. (2.5.1)
Доказательство рассмотрим для функций различного вида.
1. Формулы (2.2.2) можно представить в следующем виде:
PFFdFx
PFbFdFx
PFFdFx
PFFdFx
{ } () () ();
{}()()();
{}()()();
{}()()().
abba
ab a
abba
abb a
a
b
a
b
a
b
a
b
≤< = − =
≤≤ = + − =
<< = − + =
<≤=+−+=
∫
∫
∫
∫
+
+
+
+
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξ ξ
ξξξ
ξξ ξ
ξξ ξ
0
0
00
0
0
0
0
Поэтому для любого множества В∈В, где В - борелевская σ-алгебра чи-
словой прямой
PBdFx
B
{} ()ξ
ξ
∈=
∫
.
2. Пусть g(x)=I
B
(x), где В∈В. Обозначая А=ξ
-1
(В), то есть А есть прооб-
раз множества В, А∈F, получим, что g(ξ(ω))=I
A
(ω) и 
Продолжая таблицу соответствий терминологии функционального анализа
и теории вероятностей, можно записать

       функциональный анализ                             теория вероятностей
          интеграл Лебега                         математическое ожидание функции
           ∫ g(ξ(ω))dP(ω)                           g(ξ) от случайной величины ξ
            Ω



     Рассмотрим теорему о вычислении математического ожидания.
     Теорема. Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения
F ξ (x) . Тогда
                                              ∞
                                M {g( ξ)} = ∫ g(x)dF ξ (x) ,
                                             −∞
где интеграл понимается в смысле Лебега-Стильтьеса. В частности,
                                             ∞
                                   M {ξ} = ∫ xdF ξ (x) .                         (2.5.1)
                                             −∞
Доказательство рассмотрим для функций различного вида.

   1. Формулы (2.2.2) можно представить в следующем виде:
                                                      b
                P{a ≤ ξ < b} = Fξ ( b) − Fξ ( a ) = ∫ dFξ ( x );
                                                      a
                                                          b+ 0
                P{a ≤ ξ ≤ b} = Fξ ( b + 0) − Fξ ( a ) =    ∫ dFξ ( x );
                                                           a
                                                           b
                P{a < ξ < b} = Fξ ( b) − Fξ ( a + 0) =     ∫ dFξ ( x );
                                                          a +0
                                                                 b+ 0
                P{a < ξ ≤ b} = Fξ ( b + 0) − Fξ ( a + 0) =        ∫ dFξ ( x ).
                                                                 a +0

Поэтому для любого множества В∈В, где В - борелевская σ-алгебра чи-
словой прямой
                                P{ξ ∈ B} = ∫ dF ξ (x) .
                                              B


    2. Пусть g(x)=IB(x), где В∈В. Обозначая А=ξ-1(В), то есть А есть прооб-
раз множества В, А∈F, получим, что g(ξ(ω))=IA(ω) и




                                                                                     51

Страницы