Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

65
Случайная величина ξ называется нормированной, если M{ξ}=0 и
D{ξ}=1. Линейное преобразование случайной величины вида
ξξ
σξ
− M{ }
{}
на-
зывается
нормированием случайной величины ξ.
Следует отметить, что ковариация не отражает полностью характер за-
висимости случайных величин ξ и η. Поэтому за характеристику зависи-
мости случайных величин ξ и η принимается коэффициент
r
DD
=
cov( , )
{} {}
ξ
η
ξη
, (2.8.2)
называемый
коэффициентом корреляции величин ξ и η.
Для выяснения смысла коэффициента корреляции рассмотрим вначале
его свойства.
Свойство 1. Абсолютное значение коэффициента корреляции не может
быть больше единицы
⏐r⏐≤1.
Доказательство. Рассмотрим математическое ожидание квадрата сум-
мы нормированных случайных величин ξ и η
M
M
D
M
D
{(
{}
{}
{}
{}
)}
ξ
ξ
ξ
η
η
η
−
±
−
≥
2
0 .
Раскрывая квадрат, получаем
MM
D
MM
D
DD
{( { }) }
{}
{( { }) }
{}
cov( , )
{} {}
ξξ
ξ
ηη
η
ξη
ξη
−
+
−
±≥
22
20,
или 1± r ≥0. Беря поочерёдно знак + или −, получим, что r ≥-1 и r ≤1, или
после объединения ⏐r⏐≤1.
Свойство 2. Если η=aξ+b, a≠0, то r=±1.
Доказательство. В этом случае
η
η
η
η
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
н н
M
D
M
D
M
D
=
−
=
+
−
+
+
=
−
=
{}
{}
{}
{}
({})
{}
ab ab
ab
a
a
a
a
.
Рассмотрим cov(ξ
н
, η
н
).
cov(ξ
н
, η
н
)= cov(ξ
н
,
a
a
ξ
н
)=
a
a
cov(ξ
н
, ξ
н
)=
a
a
D{ξ
н
},
или r=
a
a
⋅=
D
D
н
н
{}
{}
ξ
ξ
2
a
a
.
Отсюда r=+1, если
a>0 и r=−1, если a<0.
Свойство 3. Если r=±1, то существуют такие a и b, что η= aξ+b.
Доказательство. Рассмотрим, например, случай r=1. Как следует из
выкладок при доказательстве свойства 1, 
   Случайная величина ξ называется нормированной, если M{ξ}=0 и
                                                                                   ξ − M{ξ}
D{ξ}=1. Линейное преобразование случайной величины вида                                     на-
                                                                                     σ{ξ}
зывается нормированием случайной величины ξ.
   Следует отметить, что ковариация не отражает полностью характер за-
висимости случайных величин ξ и η. Поэтому за характеристику зависи-
мости случайных величин ξ и η принимается коэффициент
                                            cov(ξ, η)
                                     r=                  ,                                 (2.8.2)
                                            D{ξ}D{η}
называемый коэффициентом корреляции величин ξ и η.
    Для выяснения смысла коэффициента корреляции рассмотрим вначале
его свойства.
    Свойство 1. Абсолютное значение коэффициента корреляции не может
быть больше единицы
                                 ⏐r⏐≤1.
    Доказательство. Рассмотрим математическое ожидание квадрата сум-
мы нормированных случайных величин ξ и η
                                   ξ − M{ξ}       η − M {η}
                          M{(                 ±               )2} ≥ 0 .
                                     D{ξ}           D{η}
Раскрывая квадрат, получаем
            M{(ξ − M{ξ}) 2 } M{( η − M{η}) 2 }    cov(ξ, η)
                            +                  ±2           ≥ 0,
                 D{ξ}             D{η}            D{ξ}D{η}
или 1± r ≥0. Беря поочерёдно знак + или −, получим, что r ≥-1 и r ≤1, или
после объединения ⏐r⏐≤1.
   Свойство 2. Если η=aξ+b, a≠0, то r=±1.
   Доказательство. В этом случае
                   η − M {η}       aξ + b − M {aξ + b}        a( ξ − M {ξ})       a
            ηн =               =                         =                    =     ξн .
                     D{η}               D{aξ + b}               a D{ξ}            a
   Рассмотрим cov(ξн, ηн).
                                        a     a            a
             cov(ξн, ηн)= cov(ξн,         ξн)= cov(ξн, ξн)= D{ξн},
                                        a     a            a
                                     a D{ξ н }   a
или                                r= ⋅         = .
                                     a D 2 {ξ } a
                                                    н
Отсюда r=+1, если a>0 и r=−1, если a<0.
   Свойство 3. Если r=±1, то существуют такие a и b, что η= aξ+b.
   Доказательство. Рассмотрим, например, случай r=1. Как следует из
выкладок при доказательстве свойства 1,

                                                                                               65

Страницы