Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 75 стр.

этом случае вычисление интегралов типа свёрток заменяется перемноже-
нием характеристических функций, что значительно проще.
    Что касается случайных величин ξ, принимающих только неотрица-
тельные значения, то для них вместо преобразования Фурье удобнее ис-
пользовать преобразование Лапласа и брать характеристическую функцию
в виде
                                              ∞
                                         sξ
                             gξ(s)=M{e }= ∫ e − sx dF ξ (x) .
                                              0
   Для случайных величин ξ, принимающих только целочисленные значе-
ния, обычно используют производящую функцию или так называемое
z-преобразование
                         gξ(z)=M{zξ}= ∑ z k p k .
                                                  k
   Свойства этих функций аналогичны свойствам характеристической
функции. Главные из них - взаимно-однозначное соответствие с функцией
распределения, простота работы с суммами независимых случайных вели-
чин и более простое вычисление моментов.
   Получим характеристические функции некоторых законов распределе-
ния.
   1. Биномиальный закон. В этом случае P{ξ=1}=p, P{ξ=0}=1−p=q. Тогда
по формуле (2.9.1) получим
                     gξ(u)=eiu1p+eiu0q=eiup+q=1+p(eiu−1).
   2. Закон Пуассона.
                            λm − λ       ( λe iu ) m -λ λeiu − λ + λeiu
                                                                        = e λ( e −1) .
                                                                                iu
   gξ(u)=M{eiuξ}= ∑ e ium      e = e−λ ∑            =e e = e
                   m        m!         m    m!


               § 10. Нормальный закон распределения

   Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет важнейшую
роль в теории вероятностей и занимает особое место среди других законов
распределения. Главная его особенность в том, что он является предель-
ным законом распределения, к которому стремятся другие законы распре-
деления при суммировании достаточно большого числа независимых или
слабо зависимых случайных величин, подчинённых любым другим зако-
нам распределения. Подробно этот вопрос будет рассматриваться в сле-
дующей главе.
   Нормальный закон распределения случайной величины ξ характеризу-
ется плотностью распределения вероятностей вида:


                                                                                         73