Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

7
6
2 0 2
0
0.5
0.8
0
f( ),x1
f( ),x 0.5
f( ),x2
3
-3 x
На рисунке приведены кривые нормального распределения при
а=0 и
значениях σ
2
=
1
4
, σ
2
=1, σ
2
=4. Видно, что чем меньше значение σ, тем кри-
вая p
ξ
(х) имеет большее значение максимума, то есть сжимается вдоль оси
абсцисс и вытягивается вдоль оси ординат, при неизменной площади под
графиком плотности распределения. При этом увеличивается вероятность
попадания случайной величины ξ в любую фиксированную окрестность
точки х=0. Таким образом, параметр σ характеризует рассеяние случайной
величины ξ.
Параметр
а характери-
зует центр рассеивания
случайной величины ξ, то
есть сдвиг вдоль оси абс-
цисс. Как видно из рисун-
ка, при таком сдвиге кри-
вая распределения вероят-
ностей оказывается сим-
метричной относительно
прямой х=
а, не изменяя
своей формы.
Если ξ - нормальная
случайная величина с параметрами
а и σ
2
и η=αξ+β, где α и β постоянные,
то кумулянта случайной величины η будет иметь вид:
ψ
η
(u)=iβu+ψ
ξ
(αu)= iβu+iaαu−
σα
222
2
u
=iu(β+aα)−
σα
22
2
u
2
.
Поскольку ψ
η
(u) однозначно определяет p
η
(х), то можно сделать вывод,
что η есть также нормальная случайная величина с математическим ожи-
данием (
aα+β) и дисперсией σ
2
α
2
.
Ещё следует отметить, что для независимых нормальных случайных
величин ξ=N(
a
1
, σ
1
2
) и η=N(а
2
, σ
2
2
) ζ=ξ+η есть также нормальная случай-
ная величина, поскольку
p
ξ
(х)
0 1 2 3 х
                                 0.8


                         f( x , 1 )
                                          0.5
                         f( x , 0.5 )

                         f( x , 2 )


                                      0    0
                                                     2   0   2
                                                -3       x       3
     На рисунке приведены кривые нормального распределения при а=0 и
              1
значениях σ2= , σ2=1, σ2=4. Видно, что чем меньше значение σ, тем кри-
              4
вая pξ(х) имеет большее значение максимума, то есть сжимается вдоль оси
абсцисс и вытягивается вдоль оси ординат, при неизменной площади под
графиком плотности распределения. При этом увеличивается вероятность
попадания случайной величины ξ в любую фиксированную окрестность
точки х=0. Таким образом, параметр σ характеризует рассеяние случайной
величины ξ.
                                                  Параметр а характери-
              p ξ (х)
                                              зует центр рассеивания
                                              случайной величины ξ, то
                                              есть сдвиг вдоль оси абс-
                                              цисс. Как видно из рисун-
                                              ка, при таком сдвиге кри-
                                              вая распределения вероят-
                                              ностей оказывается сим-
                                              метричной относительно
                      0 1 2 3          х      прямой х=а, не изменяя
                                              своей формы.
                                                  Если ξ - нормальная
случайная величина с параметрами а и σ и η=αξ+β, где α и β постоянные,
                                      2

то кумулянта случайной величины η будет иметь вид:
                                       σ 2α 2 u 2            σ 2α 2 2
           ψη(u)=iβu+ψξ(αu)= iβu+iaαu−            =iu(β+aα)−       u.
                                           2                   2
   Поскольку ψη(u) однозначно определяет pη(х), то можно сделать вывод,
что η есть также нормальная случайная величина с математическим ожи-
данием (aα+β) и дисперсией σ2α2.
   Ещё следует отметить, что для независимых нормальных случайных
величин ξ=N(a1, σ12 ) и η=N(а2, σ 22 ) ζ=ξ+η есть также нормальная случай-
ная величина, поскольку


76

Страницы