Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

84
η
n
=
()ξ
kk
k
n
n
B
−
=
∑
a
1
, (3.2.1)
а также
ξ
kn
=
ξ
kk
n
B
− a
и тогда η
n
= ξ
kn
k
n
=
∑
1
.
Для серий последовательностей случайных величин ξ
kn
M{ξ
kn
}=0,
D{ξ
kn
}=
σ
k
n
B
2
2
.
Для сходимости функции распределения сумм (3.2.1) к нормальному
закону распределения важнейшим является выполнение
условия Линдебер-
га
, которое при любом τ>0 имеет вид
lim ( ) ( )
n
n
k
xB
k
n
B
xdFx
k
kn
→∞
−>
=
−
∫
∑
1
2
2
1
a
a
ξ
τ
=0.
Выясним смысл этого условия. Обозначим через А
k
событие, состоящее
в том, что
⏐ξ
k
−a
k
⏐>τB
n
,
то есть
A
k
={ω: ⏐ξ
k
−a
k
⏐>τB
n
}
и оценим вероятность
P{
max
1≤≤kn
⏐ξ
k
−a
k
⏐>τB
n
}.
Поскольку
P{
max
1≤≤kn
⏐ξ
k
−a
k
⏐>τB
n
}=P( A
k
k
n
=1
U
)
и как было показано в гл. 1
P( A
k
k
n
=1
U
)≤ PA
k
k
n
()
=
∑
1
,
то отмечая, что
P(A
k
)= dF x
k
kn
xB
ξ
τ
()
−>
∫
a
≤
1
22
τ B
n
()()xdFx
k
xB
k
kn
−
−>
∫
a
a
2
ξ
τ
,
получаем неравенство
P(
max
1≤≤kn
⏐ξ
k
−a
k
⏐≥τB
n
)≤
1
22
τ B
n
()()xdFx
k
xB
k
n
k
kn
−
−>
=
∫
∑
a
a
2
1
ξ
τ
→0 при n→∞,
поскольку следующие условия равносильны 
                                                          n
                                                          ∑ (ξ k − ak )
                                             ηn= k =1                               ,                                       (3.2.1)
                                                                      Bn
а также
                                    ξ k − ak                                                      n
                          ξkn=                                    и тогда ηn= ∑ ξ kn .
                                       Bn                                                      k =1
Для серий последовательностей случайных величин ξkn                                                                      M{ξkn}=0,
          σ 2k
D{ξkn}=          .
          B2n
    Для сходимости функции распределения сумм (3.2.1) к нормальному
закону распределения важнейшим является выполнение условия Линдебер-
га, которое при любом τ>0 имеет вид
                                                      n
                                         1
                                 lim
                                n →∞ B2
                                                  ∑                   ∫ (x − ak )
                                                                                        2
                                                                                            dF ξ k (x) =0.
                                      n k =1 x − ak > τBn

    Выясним смысл этого условия. Обозначим через Аk событие, состоящее
в том, что
                              ⏐ξk−ak⏐>τBn,
то есть
                         Ak={ω: ⏐ξk−ak⏐>τBn}
и оценим вероятность
                         P{ max ⏐ξk−ak⏐>τBn}.
                                              1≤ k ≤ n
Поскольку
                                                                                              n
                              P{ max ⏐ξk−ak⏐>τBn}=P( U A k )
                                   1≤ k ≤ n                                                  k =1
и как было показано в гл. 1
                                                      n                     n
                                         P( U A k )≤ ∑ P(A k ) ,
                                                  k =1                     k =1
то отмечая, что
                                                                      1
                                   ∫ dF ξ         (x) ≤                             ∫ (x − ak )
                                                                                                      2
                     P(Ak)=                                           2
                                                                                                          dF ξ k (x) ,
                              x − ak > τBn
                                              k
                                                                  τ       B2n x − ak > τBn
получаем неравенство
                                                              n
                                                  1
     P( max ⏐ξk−ak⏐≥τBn)≤
          1≤ k ≤ n                       τ    2            ∑
                                                  B2n k =1 x − ak > τBn
                                                                             ∫ (x − ak )
                                                                                              2
                                                                                                  dF ξ k ( x) →0 при n→∞,

поскольку следующие условия равносильны



84

Страницы