Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

92
1
1
n
k
k
n
ξ−
=
∑
a ≥2ε, а ζ
k
k
n
=
∑
1
=0, то
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a ≥2ε.
В этом случае
P{
1
1
n
k
k
n
ξ−
=
∑
a ≥2ε}≤P{
1
1
n
k
k
n
η−
=
∑
a ≥2ε}+P{ ζ
k
k
n
=
∑
1
≠0}≤
bδ
ε
2
+δ.
Поскольку
ε и δ произвольны, то правая часть неравенства может быть сде-
лана меньше любого числа, что и доказывает теорему.
§4. Усиленный закон больших чисел
Рассмотрим теоремы, устанавливающие условия, при которых имеет место
сходимость почти наверное (или с вероятностью 1). Совокупность этих теорем
носит название усиленного закона больших чисел.
Основой для вывода соответствующих теорем является так называемый кри-
терий “нуля или единицы”.
Лемма. (Борель - Кантелли) Если для последовательности событий
А
n12
,, А ..., А ,... выполняется условие PA
n
n
()
=
∞
∑
1
<+∞, то P( lim sup
n
n
A
→∞
)=0. Если
события
А
n12
,, А ..., А ,... независимы и PA
n
n
()
=
∞
∑
1
=∞, то
P(
lim sup
n
n
A
→∞
)=1.
Доказательство. 1. В соответствии с данным в главе 1 понятием верхнего
предела последовательности событий
lim sup
n
n
A
→∞
=A
k
knn
=
∞
=
∞
UI
1
.
Пусть
B
n
=A
k
kn
=
∞
U
означает, что происходит хотя бы одно событие A
k
. Яс-
но, что событие B
n
n
=
∞
1
I
означает, что происходят все события B
n
. Посколь-
ку
BB
12
⊃⊃..., то
0
≤P( lim sup
n
n
A
→∞
)=P(
B
n
n
=
∞
1
I
)= lim
n→∞
P( B
n
)= lim
n→∞
P(
A
k
kn
=
∞
U
)≤ lim
n→∞
PA
k
kn
()
=
∞
∑
=0,
так как ряд
PA
k
k
()
=
∞
∑
1
по условию леммы сходится.
2. Используя формулы двойственности (глава 1), условие независимо-
сти событий
A
m
и элементарное неравенство (1−х)≤e
x−
можно записать 
                        1 n                   n
                                                          1 n
                          ∑ ξ k − a ≥2ε, а
                        n k =1
                                             ∑ ζ k =0, то n ∑ η k − a ≥2ε.
                                             k =1           k =1
В этом случае
             1 n              1 n                 n
                                                           bδ
          P{ ∑ ξ k − a ≥2ε}≤P{ ∑ η k − a ≥2ε}+P{ ∑ ζ k ≠0}≤ 2 +δ.
             n k =1           n k =1             k =1      ε
   Поскольку ε и δ произвольны, то правая часть неравенства может быть сде-
лана меньше любого числа, что и доказывает теорему.

                        §4. Усиленный закон больших чисел

   Рассмотрим теоремы, устанавливающие условия, при которых имеет место
сходимость почти наверное (или с вероятностью 1). Совокупность этих теорем
носит название усиленного закона больших чисел.
   Основой для вывода соответствующих теорем является так называемый кри-
терий “нуля или единицы”.
   Лемма. (Борель - Кантелли) Если для последовательности событий
                                                    ∞
А 1 , А 2 , ..., А n ,... выполняется условие       ∑ P (A n ) <+∞, то P( nlim
                                                                            →∞
                                                                               sup A n )=0. Если
                                                    n =1
                                                       ∞
события А 1 , А 2 , ..., А n ,... независимы и       ∑ P (A n ) =∞, то
                                                     n =1
                                        P( lim sup A n )=1.
                                             n →∞
   Доказательство. 1. В соответствии с данным в главе 1 понятием верхнего
предела последовательности событий
                                                             ∞    ∞
                                      lim sup A n = I U A k .
                                      n →∞                  n =1 k = n
                 ∞
Пусть B n = U A k означает, что происходит хотя бы одно событие A k . Яс-
              k=n
                         ∞
но, что событие         I Bn   означает, что происходят все события B n . Посколь-
                        n =1
ку B1 ⊃ B2 ⊃... , то
                                ∞                                        ∞             ∞
     0≤P( lim sup A n )=P( I Bn )= lim P( B n )= lim P( U A k )≤ lim
          n →∞                         n →∞                  n →∞              n →∞
                                                                                      ∑ P (A k ) =0,
                               n =1                                      k=n          k =n
                 ∞
так как ряд      ∑ P (A k ) по условию леммы сходится.
                 k =1
   2. Используя формулы двойственности (глава 1), условие независимо-
сти событий A m и элементарное неравенство (1−х)≤ e − x можно записать


92

Страницы