Теория вероятностей. Лаговский А.Ф. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

БФУ им. Канта | Калининград

Составители: 

Рубрика: 

9
6
С ростом числа n рассматриваемых величин S
n
множество
{
ω: max
n
n
S ≥ε2
m
} может только увеличиться. Поэтому, расширяя область
значений n, мы увеличиваем вероятность указанного события. Тогда
P(
А
m
)≤P({ω: max
n
n
S ≥ε2
m
, 1≤n<2
1m+
}).
По неравенству Колмогорова
P(
А
m
)≤
1
4
2
ε
m
D
i
i
m
{}ξ
<
+
∑
2
1
.
Оценим теперь
PA
m
m
()
=
∞
∑
1
PA
m
m
()
=
∞
∑
1
≤
1
2
ε
1
4
1
m
m=
∞
∑
D
i
i
m
{}ξ
=
−
+
∑
1
21
1
.
Меняя местами порядок суммирования, получим
PA
m
m
()
=
∞
∑
1
≤
1
2
ε
D
i
i
{}ξ
=
∞
∑
1
1
4
m
mr
i
=
∞
∑
,
где
r
i
определяется условием 2
r
i
≤ i ≤2
1r
i
+
для i>1, а для i=1 полагаем r
1
=1.
Найдём внутреннюю сумму
1
4
m
mr
i
=
∞
∑
=
1
4
r
i
1
1
1
4
−
=
4
3
1
4
r
i
.
Так как i<
2
1r
i
+
, то
1
2
1
1r
i
i
+
< и
1
4
r
i
<
4
2
i
. Поэтому
1
4
m
mr
i
=
∞
∑
≤
16
3
1
2
i
и окончательно
PA
m
m
()
=
∞
∑
1
≤
16
3
2
ε
D
i
i
i
{}ξ
2
1
=
∞
∑
.
В силу сходимости последнего ряда ряд
PA
m
m
()
=
∞
∑
1
также сходится. По
лемме Бореля-Кантелли с вероятностью 0 при любом N, существует m>N
такое, что наступает A
m
. Нетрудно видеть, что при этом существует n>N
такое, что
⏐V
n
⏐=
1
1
n
M
kk
k
n
({})ξξ−
=
∑
≥ε,
а это и означает, что 
С    ростом        числа            n        рассматриваемых                                        величин     Sn   множество
{ω: max S n ≥ε 2 m } может только увеличиться. Поэтому, расширяя область
      n
значений n, мы увеличиваем вероятность указанного события. Тогда
                 P( А m )≤P({ω: max S n ≥ε 2 m , 1≤n< 2 m +1 }).
                                                            n
По неравенству Колмогорова
                                                                    1
                                           P( А m )≤
                                                            ε 4m2                   ∑ D{ξ i } .
                                                                                i< 2m +1
                      ∞
Оценим теперь        ∑ P (A m )
                     m =1
                                     ∞                                    ∞            2m +1 −1
                                                            1                    1
                                    ∑ P (A m ) ≤ ε 2 ∑ 4 m ∑ D{ξ i } .
                                    m =1                                 m =1              i =1
Меняя местами порядок суммирования, получим
                                     ∞                                    ∞                     ∞
                                                                1                                        1
                                    ∑ P (A m ) ≤ ε 2 ∑ D{ξ i } ∑ 4 m ,
                                    m =1                                 i =1               m = ri

где ri определяется условием 2 ri ≤ i ≤ 2 ri +1 для i>1, а для i=1 полагаем r1 =1.
Найдём внутреннюю сумму
                                             ∞
                                                    1           1               1          4 1
                                           ∑                =                          =          .
                                           m = ri   4   m
                                                             4 1− 1 ri                     3 4 ri
                                                                  4
                            1           1   1               4
Так как i< 2 ri +1 , то             <     и r < 2 . Поэтому
                          2 ri +1       i  4i i
                                               ∞
                                                      1 16 1
                                              ∑ m≤3 2
                                              m = ri 4     i
и окончательно
                                             ∞                                   ∞
                                                                          16           D{ξ i }
                                            ∑ P( A m ) ≤ 3ε2 ∑                                       .
                                            m =1                                i =1       i2
                                                                                            ∞
В силу сходимости последнего ряда ряд                                                      ∑ P(A m )         также сходится. По
                                                                                           m =1
лемме Бореля-Кантелли с вероятностью 0 при любом N, существует m>N
такое, что наступает Am. Нетрудно видеть, что при этом существует n>N
                          1 n
такое, что ⏐Vn⏐=            ∑ (ξ k − M{ξ k }) ≥ε,
                          n k =1
а это и означает, что



96

Страницы