Автоматизированное проектирование. Ларин С.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

31
Используя те же выводы, что и для случая одного стержня, получим сле-
дующее матричное уравнение:
.
0
2
0
3
2
1
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
x
x
kk
kkk
kk
F
F
F
Пример. Два тонких прямых стержня с коэффициентом упругости 12
кН/мм соединены так, как показано на рис. 32. К узлам N
2
и N
3
приложены си-
лы F
2
= 3 кН и F
3
= 6 кН соответственно. Вся система закреплена в узле N
1
.
Требуется определить перемещение узлов N
2
и N
3
.
Рис. 32.Схеме закрепления стержней
Решение. Используя матричное уравнение, приведенное на рис. 32, и при-
равнивая х
2
к нулю, получим
,
0
12120
122412
01212
6
3
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
x
F
т. е.
.
12120
12240
0120
32
32
2
3
2
1
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
xx
xx
x
F
F
F
В результате имеем
3 = 24х
2
- 12х
3
, (1)
6 = - 12x
2
+ 12х
3
. (2)
Сложив выражения (1) и (2), получим
9 = 12х
2
, х
2
= 0,75.
Подставив х
2
в уравнение (1), найдем х
3
3 = (24 × 0,75) – 12х
3
, 12х
3
= 15, х
3
= 1,25.
Искомое перемещение узлов N
2
и N
3
равно 0,75 и 1,25 мм соответственно.
Используя вычисленные в этом примере перемещения, можно выразить напря-
жения через модули Юнга и длины стержней.
Использование матрицы жесткости
Инженерные конструкции редко изготавливаются из таких простых эле-
ментов, как тонкие стержни. Для плоских и объемных деталей соотношение си-
лы и перемещения уже в значительной степени зависит от геометрии элемента
и не сводится только к такой простой величине, как коэффициент упругости.
Матрица жесткости в этом случае выводится уже в результате сложных алге-
браических вычислений, оперирующих множеством матриц.
Общее выражение для матрицы жесткости имеет следующую форму: Мат-

Страницы