Автоколебания газа в установках с горением. Ларионов В.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

59
В качестве примера рассмотрим трубу, закрытую на входе и
открытую на выходе. В этом случае 0),0(
1
=
′
tu , тогда
2
1
π
−
=
ϕ
и
)exp()()exp()sin(),(
1111
tixuticxCtxu
ω
=
ω
ω=
′
, где
1
C – действи-
тельная величина.
Второе граничное условие 0),(
*
2
=
′
tlp , следовательно,
2
*
2
/clω−=ϕ , )exp()()exp(]/)(cos[),(
22
*
22
tixuticlxCtxu ω=ω−ω=
′
.
После подстановки )(),(
21
xuxu в выражение (2.32) и интегри-
рования получается:
.
)(2
sin
22
2
sin
22
Pr
1
1
2
2
**
2
*
2
2
41
0,2
0,1
1
*
1
*
2
1
21
1
0,1
21
⎥
⎥
⎦
⎤
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−ω
ω
+−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
−νρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−γ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
π=
c
xl
c
xl
C
T
T
c
x
c
x
C
RA
v
(2.34)
Для трубы, открытой на обоих концах, 0,0),0(
11
=
ϕ
=
′
tp ,
()
)exp()/cos(,
111
ticxCtxu
ω
ω=
′
.
В этом случае получается выражение, почти совпадающее с
(2.34). Отличие состоит в том, что член, содержащий )/2sin(
1
*
cxω ,
будет иметь положительный знак.
Пусть труба заполнена холодным газом, lx =
*
. Если пренеб-
речь членом, содержащим ll −
*
, получается:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
ω
−νρ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−γ
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
π=
1
1
2
1
21
1
0,1
21
2
sin
22
Pr
1
1
2 c
lc
l
C
RA
v
.
Для трубы, закрытой на входе и открытой на выходе,
*
1
lnc
n
π=ω ; членом, содержащим синус, можно пренебречь, и 
    В качестве примера рассмотрим трубу, закрытую на входе и
открытую на выходе. В этом случае u1′ (0, t ) = 0 , тогда ϕ1 = − π 2 и
u1′ ( x, t ) = C1 sin(ωx c1 ) exp(iωt ) = u1 ( x) exp(iωt ) , где C1 – действи-
тельная величина.
      Второе        граничное             условие      p2′ (l * , t ) = 0 ,   следовательно,
ϕ2 = −ωl * / c2 , u2′ ( x, t ) = C2 cos[ω( x − l * ) / c2 ] exp(iωt ) = u2 ( x) exp(iωt ) .
      После подстановки u1 ( x), u 2 ( x) в выражение (2.32) и интегри-
рования получается:

         ⎛ ω⎞
                   12
                        ⎛ γ −1 ⎞              ⎡C 2    ⎛ * c       ⎛    * ⎞⎞
  Av = πR⎜ ⎟            ⎜⎜1 +    ⎟⎟ρ1,0 ν11 2 ⎢ 1     ⎜ x − 1 sin ⎜ 2ωx ⎟ ⎟ +
         ⎝2⎠             ⎝    Pr ⎠            ⎢⎣ 2    ⎜
                                                      ⎝    2ω ⎜⎝ c1 ⎟⎠ ⎟⎠
                                                                                      (2.34)
                                                            * ⎞ ⎞⎤
                  14
        ⎛ T1,0 ⎞               ⎛                  ⎛
                        C 22   ⎜ l − x * + c2 sin ⎜ 2ω(l − x ) ⎟ ⎟⎥ .
                                                        *
       +⎜      ⎟
        ⎜T ⎟
        ⎝ 2, 0 ⎠         2     ⎜
                               ⎝           2ω ⎜⎝        c2     ⎟ ⎟⎥
                                                               ⎠ ⎠⎦

      Для трубы, открытой на обоих концах, p1′ (0, t ) = 0, ϕ1 = 0 ,
u1′ ( x, t ) = C1 cos(ωx / c1 ) exp(iωt ) .
      В этом случае получается выражение, почти совпадающее с
(2.34). Отличие состоит в том, что член, содержащий sin( 2ωx * / c1 ) ,
будет иметь положительный знак.
      Пусть труба заполнена холодным газом, x* = l . Если пренеб-
речь членом, содержащим l * − l , получается:

                                                        C2 ⎛            ⎛ 2ωl ⎞ ⎞
                               12
                 ⎛ ω⎞               ⎛ γ −1⎞                      c
          Av = πR⎜ ⎟                ⎜⎜1 +    ⎟⎟ρ1,0ν11 2 1 ⎜ l − 1 sin ⎜⎜     ⎟⎟ .
                 ⎝2⎠                 ⎝    Pr ⎠           2 ⎝ 2ω ⎝ c1 ⎟⎠ ⎟⎠
                                                           ⎜

      Для трубы, закрытой на входе и открытой на выходе,
ωn = πnc1 l * ; членом, содержащим синус, можно пренебречь, и


                                                 59

Страницы