Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

102
Формулы (3.9) и (3.10) доказываются методом математической индукции. Алгорит-
мичность формул определения коэффициентов
i
I позволяет разработать процедуру их
вычисления и тем самым составить алгебраическое уравнение
−
n й степени для вычис-
ления всех его корней. Так, при
6
=
n
уравнение (3.9) запишется так:
.0
01
2
2
3
3
4
4
5
5
6
66
=+−+−+−= IwIwIwIwIwIwId
Задание для самостоятельного решения. Для крутильной системы с тремя сте-
пенями свободы составить дифференциальные уравнения и уравнения частот.
Методом математической индукции нетрудно доказать, что все главные миноры
матрицы
C положительны. Действительно, при 1
=
n справедливо условие
;0
111
>= сс
при
2=n выполняется условие
()
()
.0det
21
211
11
2
>⋅=
+−
−
=
cc
ccc
cc
C
Предположим, что справедлива формула
()
∏
=
=
n
i
in
cC
1
det
для числа
.n Докажем спра-
ведливость этой формулы для
.1+n Согласно структуре ленточной и симметрической
матрицы
C разложение определителя
(
)
−
+
1n го порядка по
(
)
−
+
1n ой строке приво-
дит к следующему выражению:
()()
∏∏∏
=
+
=
−
=
++
>=−⋅++⋅=
n
i
n
i
i
n
i
innnnin
cccccccd
1
1
1
1
1
11
.0
Что и требовалось доказать.
Таким образом, все главные миноры матрицы
C положительны и равны ,
1
∏
=
k
i
i
c где
[]
.,1 nk ∈ Согласно критерию Сильвестра, если все главные миноры положительны, то
квадратичная форма, составленная из элементов этой матрицы, будет положительно-
определенной [8]. То есть потенциальная энергия колебательно-крутильной системы
является положительно-определенной формой. Тогда по теореме Лагранжа-Дирихле
положение равновесия механической системы устойчиво. Следовательно, корни
i
w
уравнения частот (3.9) – вещественные, положительные и различные величины. Так как
выполняется равенство
()
,0det
0
=
= CI то порядок характеристического уравнения
(3.9) понижается на единицу и, следовательно, имеем характеристическое уравнение
()
−−1n
й степени:
()
()
,01
1
1
=−
∑
=
−
ni
i
i
i
wI описывающее крутильные колебания системы с
n
степенями свободы. Это уравнение имеет
(
)
1
−
n корней, то есть
()
1−n собственных
частот, которые можно записать в порядке возрастания:
(
)
.,....
2
121 iin
kwwww =<<<
−
Каждому найденному корню
(
)
1,...,2,1
−
=
niw
i
будет соответствовать система ал-
гебраических уравнений (3.7) относительно коэффициентов распределения ,
i
µ
записы-
ваемых в матричной форме.
Определим
()
1−n
наборов коэффициентов .
i
µ
Для определения всех наборов этих
коэффициентов имеет место следующая процедура.
1.
Последовательно подставляя корни
i
w в уравнение (3.7), получим систему одно-
родных алгебраических уравнений с определителем равным нулю. Следовательно,
строки (столбцы) определителя (3.8) зависимы. То есть одна из строк (или столб-
цов) будет следствием других.

Страницы