Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

12
Из выше приведенного следует, что множество квадратных матриц порядка n обра-
зует кольцо с единицей (роль единицы выполняет единичная матрица
E
). В общем
случае, кольцо квадратных матриц не коммутативное. Для множества квадратных диа-
гональных матриц операция умножения коммутативна. Поэтому диагональные матри-
цы порядка
n
образуют коммутативное кольцо.
Произведение
k квадратных матриц размерности обозначается так:
∏
=
=
k
i
i
AA
1
.
Степенью матрицы
A
называется матрица ,...
21 k
k
AAAA = где ....
21
AAAA
k
=
===
Принято соглашение, что
.EA
o
=
При этом справедливо равенство
.
tsts
AAA
+
=
Задание для самостоятельного решения. Задана комплексная матрица .iBAX
+
=
Определить выражение
.
~
22
XX +
При помощи степени матрицы и операции сложения вводится
понятие многочлена
от матрицы
. Матричный многочлен порядка
n
записывается в виде:
()
,.....
1
1
21 +
−
++++=
nn
nn
AAAAf
αααα
где
[
]
(
)
.1,1 Kns
s
∈+∈
∀
α
Задание для самостоятельного решения. Пусть заданы многочлены
()
(
)
AfAf
21
,
соответственно порядка
n и .m
Показать, что справедливо равенство
(
)
(
)
(
)
(
)
.
1221
AfAfAfAf
=
Задание для самостоятельного решения. Задана диагональная матрица
()
(
)
.
nn
iji
Adiag
×
=
δ
Найти k - ю степень этой матрицы.
Задание для самостоятельного решения. Доказать, что операция транспонирова-
ния удовлетворяет равенству
()
.
TT
T
ABAB =
1.3. Определитель матрицы
Определение. Определителем матрицы
A
порядка n называется величина, рав-
ная алгебраической сумме
!n
слагаемых, каждый из которых представляет произведе-
ние
n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца с
соответствующим знаком. Определитель матрицы или детерминант есть ее числовая
характеристика. Принято следующее обозначение определителя матрицы A :
()
.det A
Имеет место формула
() ()
∑
−=
×
!
21
,....1det
21
n
j
njjj
t
nn
n
aaaA
где −
n
jjj ....,,,
21
индексы, при-
нимающие значения из множества целых чисел
{
}
;...21 n они образуют некоторую пе-
рестановку из чисел
;...,,2,1 n
показатель степени t представляет число инверсий в
подстановке
.
...
...21
21
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
jjj
n
В определении детерминанта приведены некоторые понятия комбинаторики: пере-
становка, инверсия. Приведем начальные сведения и практическое руководство для их
использования при вычислении определителей матриц, а также алгебраических допол-
нений при нахождении обратных матриц.
Рассмотрим последовательность первых
n натуральных чисел, которые образуют
конечное множество
{
}
.321 nK
Эти числа можно располагать в произвольном поряд-
ке. Например, для
3=n имеем следующие различные упорядоченные множества:

Страницы