Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

14
.
333231
232221
131211
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
aaa
aaa
aaa
A
Количество слагаемых определителя равно
.6!3
=
То есть определитель будет иметь
шесть слагаемых, в каждом из которых содержится произведение трех элементов (они
выбираются по одному из каждой строки и каждого столбца). Индексы элементов обра-
зуют перестановки. Можно группировать слагаемые так, чтобы в сомножителях их
первые индексы образовали натуральную перестановку
{
}
,321 а вторые индексы –
!3
перестановок. Знак каждого слагаемого определителя выражается числом инверсий в
перестановке вторых индексов элементов матрицы. Знак «+» ставится, когда переста-
новка четная, а знак «
−» – когда нечетная. Тогда имеет место следующая формула рас-
чета:
()
.det
32231133211231221332211331231233221133
aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
−
−
−
+
+=
×
Задание для самостоятельного решения. Расписать определитель матрицы чет-
вертого порядка
44×
A
согласно вышеприведенному определению.
В приложениях научных дисциплин, например, в теории колебаний упругих систем,
механике сплошной среды определитель выступает как средство вычисления основных
характеристик исследуемых объектов. Ниже приведены области практического исполь-
зования определителя как основного расчетного элемента.
A. Линейная алгебра. При вычислении собственных векторов и их собственных
значений формируется характеристическая матрица. Тогда характеристическое (ве-
ковое) уравнение записывается как равенство нулю определителя этой матрицы.
Расписывая определитель, получаем алгебраическое уравнение относительно собст-
венных значений. В этом случае определитель выступает как некий механизм по-
строения уравнений, из которых определяются неизвестные величины.
B. Теория линейных уравнений. Для нахождения решения системы линейных
уравнений
,
1
i
n
j
jij
bxa =
∑
=
где
[
]
ni ,1
=
сначала стремятся определить совместима ли
она или нет, то есть имеет ли решение или нет, а если имеет, то единственное оно
или их бесконечное множество. Для этого анализируется значение определителя,
построенного при помощи коэффициентов
ij
a системы линейных уравнений. Если
определитель этой системы равен нулю, то имеется бесконечное множество реше-
ний, в противном случае ненулевого решения нет. Если
mn
=
и определитель равен
нулю, то система неоднородных линейных уравнений не имеет нетривиального
решения, а если определитель не равен нулю, то существует единственное решение.
C. Матричное исчисление. Во многих задачах требуется включить в расчет об-
ратную матрицу, то есть такую матрицу
,X
для которой справедливо равенство
.EAXXA == Вычисление обратной матрицы, которая обозначается ,
1−
= AX осу-
ществляется при помощи определителя матрицы
.A В этом случае определитель по
существу отвечает на вопрос: существует ли для матрицы
A обратная матрица .
1−
A
Если
()
,0det ≠A то для этой матрицы существует обратная матрица.
D. Аффинная геометрия. Линейно независимые векторы
i
a в −n мерном линей-
ном пространстве задаются своими координатами
(
)
inii
aaa ,....,,
21
в определенном
базисе. Количество максимально линейно независимых векторов равно размерности
данного пространства. Из строк координат этих векторов можно сформировать

Страницы