Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

13
{}{}{}{}{}{}
.123,213,132,312,231,321
В связи с действиями с этими конечными множест-
вами необходимо дать определения, с помощью которых в дальнейшем можно описы-
вать различные операции и свойства объектов линейной алгебры.
Определение. Всякое расположение чисел в конечном множестве натуральных чи-
сел
{}
nK321 называется перестановкой.
Количество различных перестановок из
n
чисел равно
nn L21!
⋅
=
(
−n
факториал).
Например, для
3=n имеем 6!3 = выше записанных перестановок. Произвольную пе-
рестановку из
n чисел будем обозначать следующим образом:
{}
,
321 n
iiii K где
−
k
i любое число из натуральной перестановки
{
}
.21 nK
Определение. Перемена мест двух чисел в перестановке при сохранении расположе-
ния других чисел на своих местах называется
транспозицией.
Транспозиция переводит одну перестановку в другую. Например, перестановка
{}
53412
при помощи транспозиции чисел 5,1 переходит в перестановку
{}
.13452
Всегда можно из натуральной перестановки перейти к любой другой перестановке по-
средством конечного числа транспозиций.
Задача. Показать, c помощью каких транспозиций, происходит переход от переста-
новки
{}
54321 к перестановке
{}
.21453
Решение. Обозначим транспозицию элементов перестановки
j
i, через .
j
i ↔ То-
гда имеет место следующая последовательность транспозиций:
{}{}
{
}
{
}
.21453241535412354321
415231
⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→⎯
↔↔↔
В перестановке имеют случаи, когда два рассматриваемых числа отличаются по вели-
чине – одно больше или меньше другого. Например, в перестановке
{}
,51432 рас-
сматривая числа
1,3
и
,5,3
видно, что в первой паре
,13 >
а во второй − .53 < Для
этого случая вводится следующее определение.
Определение. В перестановке
{
}
nsk
iiiii KKK
21
числа
sk
ii , составляют инверсию,
если .
sk
ii >
Инверсия между числами имеет место, если первое число больше второго. Напри-
мер, в перестановке
{
}
25143 число
3
составляет со всеми остальными числами две
инверсии
()
,23,13 >> число 4 образует также две инверсии
(
)
,24,14 >> число 1 не
образует ни одной инверсии, а число
5
составляет одну инверсию с числом
.2
Задание для самостоятельного решения. Подсчитать общее число инверсий в пе-
рестановке
{}
524316 .
Определение. Перестановка называется четной, если все ее элементы составляют
четное число инверсий, и
нечетной, если – нечетное число инверсий.
Задача. Определить на четность следующую перестановку из семи элементов:
{}
.3645172
Решение. Число 2 составляет одну инверсию;
−
7 пять инверсий; −1 ноль инвер-
сий;
−5
две инверсии; −4 одну инверсию;
−
6
одну инверсию;
3
не составляет ни од-
ной инверсии. Таким образом, общее количество инверсий равно сумме чисел
,0,1,1,2,0,5,1 то есть десяти. Следовательно, данная перестановка – четная.
Произведя в перестановке одну транспозицию, тем самым изменяем ее четность.
Например, если перестановка
{}
3645172 является четной, то после транспозиции
элементов 61
↔ получим нечетную перестановку (15 инверсий).
Рассмотрим на примере квадратной матрицы третьего порядка методику составле-
ния ее детерминанта. Матрица имеет вид:

Страницы