ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
162
5.3. Затухающие колебания многомассовой системы
Для колебательно-крутильной системы (простого цепного строения) с
n
степенями
свободы, на которую действуют как внешние так и внутренние силы вязкого трения,
уравнения Лагранжа запишутся в виде:
()
∑
=
=++
n
s
sjssjssjs
cba
1
0
ϕϕϕ
&&&
(5.7)
или в матричной форме
,0
=
+
+
ϕ
ϕ
ϕ
CBA
&&&
(5.8)
где
()()
(
)
−===
T
n
T
n
T
n
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
....,,,,....,,,,....,,,
212121
&&&&&&&&&&&&
векторы-столбцы со-
ответственно обобщенных ускорений, скоростей и координат крутильной системы. Ре-
шение системы (5.7) ищется в виде:
,
pt
ue=
ϕ
(5.9)
где
()
−=
T
n
uuuu ,...,,
21
вектор-столбец комплексных чисел,
−
p
искомый параметр, оп-
ределяющий основные характеристики затухающих колебаний. Подставив решение
(5.9) в матричное уравнение (5.8), получим
(
)
,0
2
=++ ucBpAp (5.10)
представляющую систему
n уравнений с n комплексными неизвестными .
i
u А так как
величины
−
p
u, комплексные, то матричное уравнение (5.10) описывает n2 уравнений
с
n2 неизвестными. Для того чтобы найти ненулевые решения
i
u , нужно решить урав-
нение частот:
(
)
0det
2
=++ CBpAp . (5.11)
Если корни
i
p - комплексные, что имеет место при малых сопротивлениях, то воз-
никает вопрос о структуре этих чисел. Докажем, что вещественная часть комплексного
числа
p
(решения уравнения (5.11))- отрицательна.
Представим число
p
в комплексной форме: ,iknp
+
=
где 1−=i - мнимая едини-
ца, а −kn, действительные числа. Тогда числу
p
соответствует комплексно-
сопряженное число .iknp −=
′
Корню
p
уравнения (5.11) соответствует амплитуда .u
Ее также можно представить в комплексной форме ,iwvu
+
=
где −wv, действитель-
ные числа. Тогда p
′
соответствует комплексно-сопряженная амплитуда
.iwvu −=
′
Выразим число
p
через кинетическую, потенциальную энергии и функцию рассеи-
вания. Эти динамические характеристики системы в матричной форме представляются
в виде:
.
2
1
,
2
1
,
2
1
ϕϕΦϕϕΠϕϕ
&&&&
BCAT
TTT
===
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- …
- следующая ›
- последняя »
