ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
192
7.5. Матричные методы
Использование математического аппарата матриц в теории крутильных колебаний
позволяет не только записать расчетные уравнения для систем со многими степенями
свободы в компактном виде, но и сформировать вычислительную процедуру по опре-
делению всех собственных частот и амплитуд колебаний. Форма записи дифференци-
альных уравнений, преобразование этих уравнений, приведение к решению в матрич-
ной форме для различных матричных методов практически одинаковы. Но по-разному
осуществляется сама вычислительная процедура.
Рассмотрим матричный метод вращения [16]. Этот метод основан на составлении
спектральной матрицы следующего вида:
.
..
...
00
00
2
2
2
1
1
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=Ω
n
k
k
k
K
K
K
K
В этой матрице на главной диагонали расположены квадраты собственных частот кру-
тильной системы, а все остальные элементы этой матрицы равны нулю. Как было пока-
зано выше, из (3.5) на основании (3.6) следует матричное уравнение:
aAkCa
2
= (7.9)
где
−a вектор-столбец амплитуд. Тогда при помощи фундаментальной матрицы,
имеющей вид:
,
...
21
22221
11211
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
K
K
K
K
Φ
где −
ij
a амплитуды колебаний, уравнения (7.9) запишутся в виде
Ω
Φ
Φ
AC
=
. (7.10)
Нахождение матрицы
Ω
проводится по следующему алгоритму.
1.
Вычисляется матрица
.
2121 −−
= CAAU
2.
Вычисляется матрица .
21
Φ
−
= AX
3.
Преобразование выражения (7.10). Так как ,,
21212121
AAAEAA ==
−
то получим
.
21212121
ΦΩΦ
AAACA =
−
Отсюда следует .
Ω
XUX
=
Следовательно, получим иско-
мое выражение матрицы:
.
1
UXX
−
=
Ω
Для вычисления этой матрицы применяется метод вращения Якоби. Но для выпол-
нения этого процесса необходимо определить фундаментальную матрицу
.
Φ
Ее можно
найти, решая систему
(
)
.0det
12
=−
−
CAEk
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- …
- следующая ›
- последняя »
