Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 196 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

195
Выражение
p
GJ
иногда называют
жесткостью сечения вала при кручении,
ϕ
ε
ϕ
=
∂
∂
x
называют относительным углом закручивания вала. Таким образом, крутя-
щий момент, действующий на любое сечение вала, равен произведению жесткости се-
чения на его относительный угол закрутки.
8.2. Дифференциальные уравнения свободных
крутильных колебаний вала
Традиционно при составлении дифференциальных уравнений крутильных колеба-
ний применяется принцип Даламбера [13, 19, 45]. При этом рассматриваются лишь
стержни постоянного поперечного сечения. Однако в общем случае жесткость )(xGJ
p
является функцией координаты
.
x
Для составления дифференциального уравнения крутильных колебаний стержня вы-
делим его элемент длиной
dx
, расположенный на расстоянии
x
от центра
O
(см. рис.
8.1). На него действуют крутящие моменты
кркр
MM
′
,, соответственно приложенные
слева и справа, а также инерционный момент .
ин
M Согласно принципу Даламбера их
сумма равна нулю.
Здесь
,)(
x
xGJM
pкр
∂
∂
=
ϕ
()
dx
x
xGJ
x
Mdx
x
M
MdMMM
pкр
кр
кркркркр
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
+=
∂
∂
+=+=
′
ϕ
,
,
2
2
t
JM
xин
∂
∂
=
ϕ
где −
x
J осевой момент инерции выделенного элемента стержня; −
∂
∂
2
2
t
ϕ
его угловое ускорение. Осевой момент определяется по формуле:
,
2
dmiJ
xx
= где
−
x
i
радиус инерции элемента стержня;
−
dm его элементарная масса.
Исходной информацией о данном стержне является его плотность
.
ρ
Тогда элемен-
тарная масса выделенной бесконечно малой части стержня определится по формуле:
()
.dxxFdm
ρ
= Поэтому имеем для осевого момента инерции
()
.
2
dxxFiJ
xx
ρ
= Но так
как
() ()
−= xJixF
px
2
полярный момент инерции сечения, то, следовательно, осевой
момент инерции будет равен
(
)
,dxxJJ
px
ρ
=
а инерционный момент инерции стержня
вычислится по формуле:
()
.
2
2
dx
t
xJM
pèí
∂
∂
=
ϕ
ρ
Следовательно, на основании принципа
Даламбера будем иметь:
.0=−
∂
∂
=−
′
+−
ин
кр
инкркр
Mdx
x
M
MMM
Отсюда, согласно вышенаписанным выражениям, получим уравнение:
() ()
.
2
2
t
xJ
x
xGJ
x
pp
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
ϕ
ρ
ϕ
(8.4)
Если ,constGJ
p
= тогда получим следующий вид дифференциального уравнения:

Страницы