Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 198 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

197
Решение дифференциального уравнения (8.8):
(
)
(
)
0
2
=+
′′
xXpxX при определен-
ных граничных условиях. Выделяются следующие условия.
A. Свободные граничные сечения вала – случай установки вала на двух опорных
подшипниках качения. В этом случае на левое и правое сечения не действуют кру-
тящие моменты, и, следовательно, учитывая равенство
()
0
,
=
∂
∂
=
x
tx
GJM
pкр
ϕ
, по-
лучим следующие условия:
.0
0
=
∂
∂
=
∂
∂
==
∀
lxx
xx
t
ϕϕ
Или, что то же самое:
(
)
(
)
.0,,0
=
′
=
′
tlXtX (8.10)
B. Закрепленные граничные сечения вала – случай защемления вала слева и справа.
Тогда должны быть выполнены условия:
(
)
(
)
0,,0 ==
∀
tltt
ϕϕ
или, что то же са-
мое:
(
)
(
)
.0,,0
=
=
tlXtX (8.11)
C. Один конец свободен, другой закреплен – случай, моделирующий граничные усло-
вия гребного вала винтового судна. Например, для левого закрепленного сечения,
правого свободного получим следующие граничные условия:
(
)
(
)
.0,,0
=
′
=
tlXtX (8.12)
Для определенности рассмотрим случай с граничными условиями (8.12). Вид обык-
новенного дифференциального уравнения (8.8) определяет и вид его решения – сумму
двух гармонических функций (как при решении уравнения линейного осциллятора):
.sincos
21
pxCpxCX += Производная от этой функции: .cossin
21
pxpCpxpCX +
−
=
′
Для определения постоянных интегрирования
21
, CC воспользуемся граничными ус-
ловиями (8.12). Будем иметь
.cos0,0
21
plpCC
=
= А чтобы выполнялось условие
0=∀ Xt при lx = необходимо, чтобы .0
2
≠
C Следовательно, должно быть выпол-
нено условие:
.0cos
=
pl (8.13)
Уравнение (8.13) называется
частотным уравнением. Решая его, получим
()
K,2,1,12
2
=−= ii
l
p
i
π
(8.14)
бесконечную совокупность гармонических функций
)
.xX Вводя обозначение 12
−
=
ik ,
получим вид этих функций в компактной форме (для всех нечетных
k ):
K5,3,1,
2
sin =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= kïðè
l
xk
CX
k
π
(8.15)

Страницы