Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

199
также будет решением этого уравнения. Следовательно, решением уравнения (8.5) бу-
дет являться и бесконечный ряд
()
.
2
sin
2
cos
2
sin,
...5,3,1
∑
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
k
kk
l
tka
b
l
tka
a
l
xk
tx
ππ
π
ϕ
(8.18)
Следующим этапом составления общего решения уравнения (8.5) является нахожде-
ние таких постоянных коэффициентов
kk
ba ,, чтобы были выполнены начальные усло-
вия (8.16). Если ряд (8. 18) сходится, то его можно продифференцировать. Производ-
ная этого ряда по t записывается в виде:
∑
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
,...5,3,1
2
cos
2
sin
2
sin
2
k
kk
l
tka
b
l
tka
a
l
xk
l
ka
t
πππ
πϕ
. (8.19)
Теперь воспользуемся начальными условиями при
0
=
t . Из выражений (8.18), (8.19) и
условий (8.16) получим
() ( ) () ()
∑∑
∞
=
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
..5,3,1
2
..5,3,1
1
2
sin
2
0,,
2
sin0,
k
k
k
k
l
xk
b
l
ka
x
t
xf
l
xk
axxf
π
πϕ
π
ϕ
. (8.20)
Полученные формулы (8.20) представляют собой ряды Фурье по синусам. Коэффици-
енты
kk
ba , вычисляются как коэффициенты Фурье по формулам:
∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
ll
kk
dx
l
xk
f
ka
bdx
l
xk
f
l
a
0
2
0
1
.
2
sin
4
,
2
sin
2
π
π
π
(8.21)
Следует отметить, что на функции
(
)
(
)
xfxf
21
, должны быть наложены определенные
ограничения. Так, функция
()
xf
1
на lx
≤
≤
0 должна быть дважды непрерывно диффе-
ренцирована, иметь кусочно-непрерывную производную
1
f
′
′
′
и ,0)()0(
11
=
= lff
() ()
.00
11
=
″
=
″
lff Функция )(
2
xf на lx
≤
≤
0 должна быть непрерывно дифференци-
руемой, иметь кусочно-непрерывную производную
″
2
f и 0)()0(
22
=
=
lff .
Таким образом, уравнение свободных колебаний однородного стержня постоянного
сечения представляется бесконечным сходящимся рядом вида (8.18), коэффициенты
которого вычисляются по формулам (8.21) при выполнении граничных условий (8.12) и
начальных условий (8.16). В зависимости от начальных условий находятся коэффици-
енты Фурье (8.21).
Задача. К закрепленному слева однородному стержню длиной l к крайнему справа
сечению приложен момент .
0
M Затем мгновенно прекращают его действие. В резуль-
тате первичной закрутки стержень начинает совершать малые крутильные колебания.
Определить начальные условия движения этого стержня, а по ним коэффициенты
Фурье .,
kk
ba

Страницы