Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

200
Решение. Из курса сопротивления материалов известно, что величина
p
GJ
M
0
0
=
ϕ
называется
относительным углом кручения. Тогда закон кручения каждого попереч-
ного сечения стержня определяется по линейному закону и в начальный момент време-
ни
0=t
определяется функциями .0,0,
201
lxприfxf
≤
≤
=
=
ϕ
Следовательно, на ос-
новании формул (8.21) коэффициенты Фурье для любого нечетного
k запишутся:
dx
l
xk
x
l
ab
l
kk
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
0
0
2
sin
2
,0
π
ϕ
. (8.22)
Определение коэффициентов
k
a совершается вычислением интегралов (8.22) по
частям. Имеют место следующие выкладки:
.
2
sin
2
2
cos
2
2
cos
2
2
sin
2
0
0
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∫∫
π
π
π
π
π
π
π
k
k
l
dx
l
xk
k
l
l
xk
k
lx
dx
l
xk
x
l
l
l
Так как для любых нечетных
k
справедливо тождество: .0
2
cos =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
k
И кроме того,
имеет место формула:
()
.1
2
sin
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
k
k
π
Следовательно, окончательно коэффициен-
ты Фурье для заданных начальных условиях вычисляются по формуле:
()
()
K,5,3,1,0,
8
1
2
0
2
1
==−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
kb
k
l
a
k
k
k
π
ϕ
(8.23)
Так, для первых четырех
k
значения коэффициентов
k
a запишутся:
K,
49
8
,
25
8
,
9
8
,
8
2
0
7
2
0
5
2
0
3
2
0
1
ππππ
pppp
GJ
lM
a
GJ
lM
a
GJ
lM
a
GJ
lM
a −==−==
Видна закономерность изменения коэффициентов
k
a : с увеличением числа k ко-
эффициенты уменьшаются обратно пропорционально квадрату числа
k . Следователь-
но, при
∞→k коэффициенты
k
a также стремятся к бесконечности )( ∞→
k
a . В прак-
тическом плане это означает, что начиная с некоторого числа
k гармоники с этими ам-
плитудами
k
a не будут играть существенной роли в описании свободных крутильных
колебаний стержня. Таким образом, колебательный процесс однородного вала при
вышезаданных граничных и начальных условиях определяется бесконечным рядом:
() ()
.
2
cos
2
sin
1
1
8
,
2
5,3,1
2
1
2
0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
l
atk
l
xk
kGJ
lM
tx
k
k
p
ππ
π
ϕ
K
(8.24)
Проведем предварительные расчеты по составлению функции
()
., tx
ϕ
Ограничимся
первыми четырьмя слагаемыми. Тогда получим следующее выражение:

Страницы