Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

202
8.4 Вынужденные колебания валов
Если на однородный цилиндрический вал с круглым постоянным сечением, со-
вершающий крутильные колебания, действуют внешние моменты, то приходящая
извне энергия вызывает дополнительные кручения. В этом случае стержень совер-
шает незатухающие вынужденные колебания. И эти колебания (их частоты и фор-
мы) зависят от вида функций, представляющих внешние крутящие моменты. В об-
щем случае это силовое воздействие рассчитывают относительно объема стержня.
Так, для выделенного элемента стержня (см. рис. 8. 2) оно равно
()
,, Fdxtxp где
()
−txp , отнесенная к объему стержня угловая нагрузка;
−
F площадь сечения ва-
ла. Вводя обозначение
()
()
,,
,
txg
txp
=
ρ
где
−
ρ
плотность материала стержня (ва-
ла), получим его дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:
()
txg
x
a
t
,
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
ϕϕ
(8.25)
Это уравнение представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение
в частных производных. Для его решения также, как и для однородного уравнения
требуется задать граничные и начальные условия. Для определенности примем
следующие условия:
−
граничные
(
)
(
)
;0,,0,0
=
′
= tlt
ϕ
ϕ
−
начальные
(
)()
(
)
.0,00,,0,
1
lxxxfx
≤
≤
=
=
ϕ
ϕ
&
Методика решения уравнения (8.25) основана на классическом подходе решения
неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения и на методе разде-
ления переменных Фурье. Решение неоднородного уравнения ищется в виде суммы
решения однородного дифференциального уравнения
од
ϕ
и частного решения
вын
ϕ
уравнения (8.25), то есть .
вынод
ϕ
ϕ
ϕ
+
= Решение однородного дифференциального
уравнения (8.5) при заданных граничных и начальных условиях было найдено в
(8.3) и имеет вид:
,
2
cos
2
sin
5,3,1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑
∞
=
l
tka
l
xk
a
k
kод
ππ
ϕ
K
где коэффициенты
k
a вы-
числяются по формуле (8.21).
Частное решение неоднородного уравнения (8.25) будем искать при нулевых на-
чальных условиях (что вполне естественно, так как вынужденные колебания воз-
буждаются внешними моментами). Таким образом, имеем следующие условия:
−
граничные
()
(
)
;0,,0,0
=
′
= tlt
вынвын
ϕ
ϕ
−
начальные
()
(
)
.0,00,,00, lxxx
вынвын
≤
≤
=
=
ϕ
ϕ
&
Частное решение будем искать в виде сходящегося бесконечного ряда:
()
.
2
sin
5,3,1
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Kk
kвын
tV
l
xk
π
ϕ
(8.26)
Подставив это решение в уравнение (8.25), получим

Страницы