ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
203
()
.,
22
sin
2
5,3,1
txgV
l
ak
V
l
xk
kk
k
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
∞
=
ππ
&&
K
(8.27)
Введем обозначение:
.
2l
ak
p
k
π
=
Функция
()
−txg , произвольная, но удовлетворяющая условию разложения ее в
ряд Фурье. Тогда представим эту функцию в виде ряда Фурье по синусоидам:
() ()
,
2
sin,
5,3,1
∑
∞
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Kk
k
l
xk
tgtxg
π
(8.28)
где коэффициенты
k
g , являющиеся функциями времени, вычисляются как коэф-
фициенты Фурье, то есть по формуле
()
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
l
k
du
l
uk
tug
l
g
0
.
2
sin,
2
π
(8.29)
В интеграле (8.29) переменная
u выполняет роль переменной .
x
Тогда уравнение
(8.27) запишется в виде:
()
(
)
∑
∞
=
=−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
K
&&
5,3,1
2
0
2
sin
k
kkkk
tgVpV
l
xk
π
. (8.30)
Вследствие линейной независимости функций уравнения (8.30) оно выполняется,
если справедливы дифференциальные уравнения:
(
)
K
&&
,5,3,1,
2
==+ ktgVpV
kkkk
(8.31)
Уравнения (8.31) представляют собой неоднородные обыкновенные дифферен-
циальные уравнения. При этом имеют место нулевые начальные условия: при
0
=
t
()
00 ==
kk
VV
&
. Решение уравнения (8.31) в общем случае ищется в виде интеграла
Дюамеля:
() () ( )
,sin
1
0
2
tdttptg
p
tV
t
kk
k
k
′′
−
′
=
∫
(8.32)
где
−
′
t фиктивный временной параметр. Если воспользоваться выражением для
функций
k
g (8.29), то функции
(
)
tV
k
запишутся в виде:
() () ()
.sin
2
sin,
2
00
2
duttp
l
uk
tugtd
lp
tV
k
lt
k
k
′
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
′′
=
∫∫
π
(8.33)
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (8.25) запишется в виде:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- …
- следующая ›
- последняя »
