Матричные методы в расчетах крутильных колебаний силовых установок с ДВС. Лашко В.А - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

196
,
2
2
2
2
2
x
a
t ∂
∂
=
∂
∂
ϕϕ
(8.5)
где
./
ρ
Ga = Уравнение (8.5) называется дифференциальным уравнением свобод-
ных крутильных колебаний цилиндрических валов постоянного сечения. Это есть
дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболиче-
ского типа. Оно еще называется
волновым уравнением [46].
8.3. Решение волнового уравнения
Решение уравнения (8.4) осуществляется при помощи обобщенных функций, вво-
димых в функциональном анализе для решения дифференциальных уравнений с част-
ными производными и переменными коэффициентами. Эти задачи выходят за рамки
данного учебного пособия. Здесь же сосредоточим внимание на решении дифференци-
ального уравнения (8.5). Традиционно для решения этого уравнения применяется либо
метод Даламбера (метод характеристик
), либо метод Фурье (метод разделения пере-
менных) [45, 46]. Для решения практических задач, связанных с крутильными колеба-
ниями упругих валов, входящих в состав колебательно-крутильной системы, эффекти-
вен метод Фурье. Поэтому именно он и будет выбран для решения уравнения (8.5).
Решение уравнения (8.5) представляется в виде произведения двух функций, одна из
которых является функцией
координаты
x
, а другая – переменной времени .t То есть
решение представляется в виде:
(
)
).()(, tTxXtx
=
=
ϕ
ϕ
(8.6)
При этом
() ()() () () ( )
.,
2
2
2
2
2
2
2
2
xXtTtT
x
X
x
tTxX
t
T
xX
t
′′
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
ϕϕ
&&
В результате подста-
новки (8.6) в дифференциальное уравнение (8.5) получим выражение:
(
)
()
(
)
()
,
2
2
p
tTa
tT
xX
xX
−==
′′
&&
(8.7)
где
−
p
постоянная величина, коэффициент пропорциональности. Но как будет выяс-
нено ниже, эта величина имеет фундаментальное значение для описания крутильных
колебаний вала. Из (8.7) следует система двух обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка:
(
)
(
)
0
2
=+
′′
xXpxX , (8.8)
(
)
(
)
(
)
.0
2
=+ tTaptT
&&
(8.9)
Для однозначного решения дифференциального уравнения (8.5) или то же самое для
системы уравнений (8.8)-(8.9) необходимо задать дополнительные условия. Ими явля-
ются условия на концах стержня (при
lxx
=
=
,0 ) – концевые или граничные условия и
условия в начальный момент времени (при
0
=
t ) – начальные условия. В зависимости
от граничных и начальных условий и решается данная задача.

Страницы