ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24
1.5. Обратимость матриц
При решении системы линейных уравнений
B
A
X
=
матричным методом встает
вопрос о существовании для матрицы A обратной матрицы.
Определение. Матрица A называется особенной или вырожденной, если ее опре-
делитель равен нулю, то есть
()
.0det
=
A
Особенная матрица не имеет обратной. Если
(
)
,0det
≠
A то матрица A обладает об-
ратной матрицей.
Определение. Матрица
B
называется обратной для матрицы
A
, если выполняются
равенство: ,EABBA
=
= где −
E
единичная матрица. Обозначим обратную матрицу
для A через .
1−
A
Обратная матрица формируется при помощи
присоединенной матрицы
P
, которая
имеет следующее строение. Каждый элемент
Pp
ij
∈
есть алгебраическое дополнение к
элементу
.Aa
ji
∈ Обратная матрица
1−
A для матрицы
A
равна присоединенной матри-
це, деленной на определитель этой матрицы, то есть имеет место следующая формула:
()
.
det
1
A
P
A =
−
Алгоритм вычисления обратной матрицы для матрицы n-го порядка.
1. Произвести вычисление определителя матрицы или непосредственно по определе-
нию, или при помощи метода Лапласа, или путем приведения матрицы к треуголь-
ной форме.
2. Для каждого элемента Aa
ij
∈ определить его алгебраическое дополнение
(
)
ij
A
′
′
det ,
то есть определитель подматрицы, образованный элементами матрицы
A
после вы-
черкивания строки с номером i и столбца с номером ,
j
взятой со знаком
()
.1
ji+
−
3. Найденное значение поместить в матрицу на место пересечения
j
строки и i
столбца. Это будет элемент
ji
p присоединенной матрицы .P
4. Произвести деление каждого элемента присоединенной матрицы на значение опре-
делителя исходной матрицы.
Полученная матрица и есть обратная к матрице
.A
Чтобы убедиться в правиль-
ности составления обратной матрицы
1−
A необходимо проверить равенства:
.,
11
EAAEAA ==
−−
Задача. Найти обратную матрицу для матрицы, имеющей вид
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
211
031
102
A
.
Решение. Определитель матрицы вычисляется по вышеприведенной формуле и ра-
вен
()
.10det =A
Последовательность построения присоединенной матрицы .P
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
