ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
26
1.6. Ранг матрицы
Понятие ранга матрицы связано с определением количества линейно независимых
строк расширенной матрицы системы линейных уравнений. Как было ранее отмечено,
матрицу
mn
A
×
можно рассматривать как n векторов-строк длины m или m векторов-
столбцов длины
.n
Они являются либо линейно зависимыми, либо линейно независи-
мыми. Линейно зависимые строки (столбцы) матрицы можно при помощи элементар-
ных преобразований свести к матрице с нулевой строкой (столбцом).
Определение. Рангом матрицы называется максимальное число ее линейно незави-
симых строк (или столбцов).
Существует несколько процедур определения ранга матрицы. Первым этапом вы-
числения ранга является определение миноров второго порядка отличных от нуля, со-
ставленных на основе первых двух строк матрицы. Затем определяются миноры третье-
го порядка, окаймляющие не нулевой минор второго порядка.
Если все эти миноры
третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. В противном случае проце-
дура вычисления миноров, отличных от нуля, продолжается аналогично, то есть вы-
считываются миноры четвертого порядка, окаймляющие не равный нулю минор
третьего порядка. Также, если все эти миноры будут равны нулю, то ранг матрицы ра
-
вен трем. Если это не так, то процедура счета миноров (более высоких порядков, чем
предыдущие) продолжается вплоть до определения окаймляющих не нулевой минор
()
−−1n го порядка минорами
−n
го порядка.
Расчет всех главных миноров осуществляется при определении знакоопределенно-
сти квадратичной формы в критерии Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма
была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее главные ми-
норы были положительны [8]. Данный метод трудоемок и занимает много времени для
матриц размерности
.4>n Поэтому на практике применяется более эффективная про-
цедура вычисления ранга матрицы – приведение матрицы к диагональному виду (с
равными единице диагональными элементами). Количество единиц на главной диаго-
нали и определяет ее ранг.
Задача. Определить ранг матрицы, имеющей вид
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
=
050121
393066
204011
131022
A .
Решение. Применим метод диагонализирования матрицы. Ниже приведена цепочка
преобразованных при помощи элементарных преобразований матриц.
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
=→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
=
050121
393066
131022
204011
050121
393066
204011
131022
1
AA
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- …
- следующая ›
- последняя »
